Номер 34.42, страница 128 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Лукашик, Иванова

§ 34. Энергия. Закон сохранения энергии. Глава 4. Работа и мощность. Простые механизмы. Энергия - номер 34.42, страница 128.

34.42 [840] Мяч массой 200 г бросили вертикально вверх с высоты 1,5 м над поверхностью земли с такой скоростью, что кинетическая энергия мяча превосходила его потенциальную энергию в 4 раза. Не учитывая трение, определите механическую энергию и скорость мяча в конце полёта. Изменятся ли результаты вычислений, если бросок будет произведён в горизонтальном направлении?

Дано:

Масса мяча: $m = 200 \text{ г}$
Начальная высота: $h_1 = 1.5 \text{ м}$
Соотношение энергий: $E_{k1} = 4 E_{p1}$
Ускорение свободного падения: $g \approx 9.8 \text{ м/с}^2$

$m = 200 \text{ г} = 0.2 \text{ кг}$

Найти:

$E - ?$ (полная механическая энергия)
$v_2 - ?$ (скорость в конце полёта)
Изменятся ли результаты при горизонтальном броске?

Решение:

определите механическую энергию и скорость мяча в конце полёта

1. Вычислим начальную потенциальную энергию мяча ($E_{p1}$) на высоте $h_1$ относительно поверхности земли, которую примем за нулевой уровень потенциальной энергии.

$E_{p1} = m g h_1 = 0.2 \text{ кг} \cdot 9.8 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} \cdot 1.5 \text{ м} = 2.94 \text{ Дж}$

2. Согласно условию задачи, начальная кинетическая энергия ($E_{k1}$) в 4 раза превосходит начальную потенциальную:

$E_{k1} = 4 \cdot E_{p1} = 4 \cdot 2.94 \text{ Дж} = 11.76 \text{ Дж}$

3. Полная механическая энергия ($E$) является суммой кинетической и потенциальной энергий. Поскольку трением можно пренебречь, для системы "мяч-Земля" выполняется закон сохранения механической энергии, то есть полная энергия остается постоянной на протяжении всего полета.

$E = E_{p1} + E_{k1} = 2.94 \text{ Дж} + 11.76 \text{ Дж} = 14.7 \text{ Дж}$

4. В конце полета, в момент перед ударом о землю, высота мяча $h_2 = 0$, следовательно, его потенциальная энергия $E_{p2} = 0$. По закону сохранения энергии, вся механическая энергия перейдет в кинетическую:

$E = E_{k2} + E_{p2} \implies E = E_{k2} = 14.7 \text{ Дж}$

5. Зная конечную кинетическую энергию, найдем скорость мяча ($v_2$) в конце полета из формулы для кинетической энергии:

$E_{k2} = \frac{m v_2^2}{2} \implies v_2 = \sqrt{\frac{2 E_{k2}}{m}}$

$v_2 = \sqrt{\frac{2 \cdot 14.7 \text{ Дж}}{0.2 \text{ кг}}} = \sqrt{147} \frac{\text{м}}{\text{с}} = \sqrt{49 \cdot 3} \frac{\text{м}}{\text{с}} = 7\sqrt{3} \frac{\text{м}}{\text{с}} \approx 12.12 \frac{\text{м}}{\text{с}}$

Ответ: Полная механическая энергия мяча равна $14.7 \text{ Дж}$, а его скорость в конце полёта составляет $7\sqrt{3} \text{ м/с}$ (приблизительно $12.12 \text{ м/с}$).

Изменятся ли результаты вычислений, если бросок будет произведён в горизонтальном направлении?

Закон сохранения механической энергии связывает состояния системы в разные моменты времени. Величины, входящие в формулу энергии (масса, высота, квадрат скорости), являются скалярными, то есть не зависят от направления движения.

1. Начальная энергия: Начальная потенциальная энергия ($E_{p1} = m g h_1$) определяется только начальной высотой. Начальная кинетическая энергия ($E_{k1} = \frac{m v_1^2}{2}$) определяется величиной начальной скорости, но не её направлением. Условие $E_{k1} = 4 E_{p1}$ задает величину начальной кинетической энергии. Таким образом, неважно, брошен мяч вертикально, горизонтально или под любым другим углом — если начальная высота и величина начальной скорости (а значит, и $E_{k1}$) те же, то и полная начальная механическая энергия $E = E_{p1} + E_{k1}$ будет одинаковой.

2. Конечная энергия: Конечное состояние — это момент перед ударом о землю, где высота $h_2 = 0$. В этом состоянии вся механическая энергия переходит в кинетическую: $E = E_{k2} = \frac{m v_2^2}{2}$.

Поскольку полная механическая энергия $E$ и масса $m$ в случае горизонтального броска будут такими же, как и при вертикальном, то и величина конечной скорости $v_2$ также не изменится.

Ответ: Нет, результаты вычислений не изменятся. Полная механическая энергия и скорость мяча в конце полета останутся прежними, так как они не зависят от направления начального броска, а только от начальной высоты и величины начальной скорости.