Номер 34.41, страница 128 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Лукашик, Иванова

§ 34. Энергия. Закон сохранения энергии. Глава 4. Работа и мощность. Простые механизмы. Энергия - номер 34.41, страница 128.

34.41* [н] Тело малых размеров соскальзывает без трения с горки высотой $H$ по склону, заканчивающемуся горизонтальным трамплином высотой $h$ над поверхностью земли. Докажите, что дальность полёта тела максимальна, если высота трамплина равна половине высоты горки. Чему равна дальность полёта при этом условии?

Дано:

$H$ – высота горки
$h$ – высота трамплина
Трение отсутствует.

Найти:

1. Доказать, что дальность полета $L$ максимальна при $h = \frac{H}{2}$.
2. $L_{max}$ – максимальная дальность полета.

Решение:

Сначала найдем общую зависимость дальности полета $L$ от высоты трамплина $h$.

По закону сохранения энергии для тела, соскальзывающего с высоты $H$ на высоту $h$, его начальная потенциальная энергия $mgH$ (относительно уровня земли) переходит в потенциальную энергию $mgh$ и кинетическую энергию $\frac{mv^2}{2}$ на трамплине:
$mgH = mgh + \frac{mv^2}{2}$
Отсюда находим скорость $v$ тела в момент отрыва от трамплина:
$g(H-h) = \frac{v^2}{2} \implies v = \sqrt{2g(H-h)}$

После отрыва от трамплина тело совершает горизонтальный полет с высоты $h$. Движение тела можно рассматривать как сумму двух независимых движений: равномерного по горизонтали со скоростью $v$ и равноускоренного падения по вертикали без начальной скорости.
Время полета $t$ определяется высотой $h$:
$h = \frac{gt^2}{2} \implies t = \sqrt{\frac{2h}{g}}$
Дальность полета $L$ равна произведению горизонтальной скорости на время полета:
$L = v \cdot t = \sqrt{2g(H-h)} \cdot \sqrt{\frac{2h}{g}} = \sqrt{4h(H-h)}$
Итак, дальность полета как функция от высоты трамплина имеет вид:
$L(h) = 2\sqrt{Hh - h^2}$

Докажите, что дальность полета тела максимальна, если высота трамплина равна половине высоты горки.

Для нахождения максимального значения функции $L(h)$ нужно найти ее экстремум. Функция $L(h)$ достигает максимума в той же точке, что и подкоренное выражение $f(h) = Hh - h^2$, поскольку квадратный корень является монотонно возрастающей функцией.
Найдем производную функции $f(h)$ по переменной $h$ и приравняем ее к нулю:
$f'(h) = \frac{d}{dh}(Hh - h^2) = H - 2h$
$f'(h) = 0 \implies H - 2h = 0 \implies h = \frac{H}{2}$
Для проверки того, что это точка максимума, найдем вторую производную:
$f''(h) = -2$
Так как $f''(h) < 0$, то при $h = \frac{H}{2}$ функция $f(h)$, а следовательно и дальность полета $L(h)$, достигает своего максимального значения.

Ответ: Максимум функции дальности полета $L(h) = 2\sqrt{Hh - h^2}$ достигается при выполнении условия $h = \frac{H}{2}$, что и требовалось доказать.

Чему равна дальность полёта при этом условии?

Для нахождения максимальной дальности полета $L_{max}$ подставим найденное значение $h = \frac{H}{2}$ в выражение для $L(h)$:
$L_{max} = L\left(\frac{H}{2}\right) = 2\sqrt{H\left(\frac{H}{2}\right) - \left(\frac{H}{2}\right)^2} = 2\sqrt{\frac{H^2}{2} - \frac{H^2}{4}} = 2\sqrt{\frac{H^2}{4}}$
$L_{max} = 2 \cdot \frac{H}{2} = H$

Ответ: $L_{max} = H$.