Номер 34.38, страница 127 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Лукашик, Иванова

§ 34. Энергия. Закон сохранения энергии. Глава 4. Работа и мощность. Простые механизмы. Энергия - номер 34.38, страница 127.

34.38 [838] Гиря, покоящаяся на верхнем конце спиральной пружины, укреплённой на подставке, сжимает пружину на длину $x_1 = 2 \text{ мм}$. Та же гиря, упавшая на пружину с некоторой высоты $h$, сжимает пружину на длину $x_2 = 2 \text{ см}$. Определите высоту $h$.

Дано:

$x_1 = 2 \text{ мм} = 0.002 \text{ м}$
$x_2 = 2 \text{ см} = 0.02 \text{ м}$

Найти:

$h$

Решение:

Рассмотрим два случая, описанных в задаче.

1. Гиря покоится на верхнем конце пружины. В этом положении система находится в равновесии. Сила тяжести гири $F_g = mg$ уравновешивается силой упругости пружины $F_{упр1}$, которая возникает при сжатии на величину $x_1$. Согласно закону Гука, $F_{упр1} = kx_1$, где $k$ - жесткость пружины.

Из условия равновесия получаем:

$mg = kx_1$ (1)

Это уравнение связывает массу гири и жесткость пружины.

2. Гиря падает с высоты $h$ на пружину и сжимает ее на величину $x_2$. Для этой ситуации применим закон сохранения механической энергии. За нулевой уровень потенциальной энергии выберем положение гири в точке максимального сжатия пружины.

Начальная энергия системы (гиря на высоте $h$ над несжатой пружиной) – это потенциальная энергия гири. Относительно выбранного нулевого уровня высота гири составляет $(h + x_2)$. Начальная скорость гири равна нулю.

$E_{нач} = E_{п.грав} = mg(h + x_2)$

Конечная энергия системы (гиря в момент максимального сжатия пружины на $x_2$) – это потенциальная энергия деформированной пружины. В этой точке скорость гири мгновенно становится равной нулю, а ее гравитационная потенциальная энергия равна нулю (согласно нашему выбору).

$E_{кон} = E_{п.пружины} = \frac{kx_2^2}{2}$

По закону сохранения энергии, начальная энергия равна конечной:

$mg(h + x_2) = \frac{kx_2^2}{2}$ (2)

Теперь объединим полученные уравнения. Подставим выражение для $mg$ из уравнения (1) в уравнение (2):

$kx_1(h + x_2) = \frac{kx_2^2}{2}$

Жесткость пружины $k$ можно сократить, так как она не равна нулю:

$x_1(h + x_2) = \frac{x_2^2}{2}$

Теперь выразим из этого соотношения искомую высоту $h$:

$h + x_2 = \frac{x_2^2}{2x_1}$

$h = \frac{x_2^2}{2x_1} - x_2$

Подставим числовые значения величин, переведенные в систему СИ:

$h = \frac{(0.02 \text{ м})^2}{2 \cdot 0.002 \text{ м}} - 0.02 \text{ м} = \frac{0.0004 \text{ м}^2}{0.004 \text{ м}} - 0.02 \text{ м}$

$h = 0.1 \text{ м} - 0.02 \text{ м} = 0.08 \text{ м}$

Переведем результат в сантиметры для удобства: $0.08 \text{ м} = 8 \text{ см}$.

Ответ: $h = 0.08 \text{ м}$ (или $8 \text{ см}$).