Номер 34.34, страница 127 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Лукашик, Иванова

§ 34. Энергия. Закон сохранения энергии. Глава 4. Работа и мощность. Простые механизмы. Энергия - номер 34.34, страница 127.

34.34* [834*] Тормозной путь автомобиля зависит от скорости перед началом торможения. Докажите, что при прочих равных условиях тормозной путь прямо пропорционален квадрату скорости.

Дано:

$v_0$ - начальная скорость автомобиля.
$v = 0$ - конечная скорость автомобиля.
"Прочие равные условия" означают, что суммарная тормозящая сила $F_т$ и масса автомобиля $m$ постоянны.

Найти:

Доказать, что тормозной путь $s$ прямо пропорционален квадрату начальной скорости $v_0$, то есть $s \propto v_0^2$.

Решение:

Для доказательства воспользуемся законами кинематики и динамики. Движение автомобиля при торможении — это движение с постоянным отрицательным ускорением (равнозамедленное), так как по условию "прочие равные условия" тормозящая сила $F_т$ и масса автомобиля $m$ постоянны.

Согласно второму закону Ньютона, тормозящая сила создает ускорение $a$, равное:
$a = -\frac{F_т}{m}$
Знак "минус" указывает, что вектор ускорения направлен против вектора начальной скорости. Так как $F_т$ и $m$ постоянны, ускорение $a$ также является постоянной величиной.

Для движения с постоянным ускорением справедлива формула, связывающая путь, начальную и конечную скорости, и ускорение:
$s = \frac{v^2 - v_0^2}{2a}$
где $s$ — тормозной путь, $v_0$ — начальная скорость, а $v$ — конечная скорость.

Так как в конце тормозного пути автомобиль останавливается, его конечная скорость $v = 0$. Подставим это значение в формулу:
$s = \frac{0^2 - v_0^2}{2a} = -\frac{v_0^2}{2a}$

Теперь подставим в эту формулу выражение для ускорения $a = -\frac{F_т}{m}$:
$s = -\frac{v_0^2}{2 \left(-\frac{F_т}{m}\right)} = \frac{m v_0^2}{2F_т}$

Перепишем полученное выражение в виде:
$s = \left(\frac{m}{2F_т}\right) \cdot v_0^2$

В этом выражении дробь $\left(\frac{m}{2F_т}\right)$ является постоянным коэффициентом, так как по условию масса $m$ и тормозящая сила $F_т$ — константы. Обозначим этот коэффициент как $k = \frac{m}{2F_т}$. Тогда:
$s = k \cdot v_0^2$

Это соотношение показывает, что тормозной путь $s$ прямо пропорционален квадрату начальной скорости $v_0$.

К этому же выводу можно прийти, используя теорему об изменении кинетической энергии. Работа тормозящей силы $A = -F_т \cdot s$ равна изменению кинетической энергии $\Delta E_k = E_{k_{кон}} - E_{k_{нач}} = 0 - \frac{mv_0^2}{2}$. Приравнивая их, получаем $-F_т \cdot s = - \frac{mv_0^2}{2}$, откуда $s = \frac{mv_0^2}{2F_т}$, что и было получено ранее.

Ответ:

Тормозной путь автомобиля при "прочих равных условиях" (т.е. при постоянной массе и постоянной тормозящей силе) определяется выражением $s = \left(\frac{m}{2F_т}\right) v_0^2$. Поскольку множитель $\left(\frac{m}{2F_т}\right)$ является постоянной величиной, тормозной путь $s$ прямо пропорционален квадрату начальной скорости $v_0$, что и требовалось доказать.