Номер 36.23, страница 137 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Лукашик, Иванова

§ 36. Волны. Глава 5. Механические колебания и волны - номер 36.23, страница 137.

36.23 [Д. 117] Докажите, что величины, характеризующие волновое движение, связаны соотношением $2\pi/\lambda = \omega/v$, где $\omega$ — циклическая частота колебаний частиц, равная $2\pi\nu$. Какие из величин, входящих в равенство, зависят от свойств среды, в которой распространяется волна?

Решение

Докажите, что величины, характеризующие волновое движение, связаны соотношением $2\pi/\lambda = \omega/v$, где $\omega$ — циклическая частота колебаний частиц, равная $2\pi\nu$.

Доказательство основано на базовых определениях волновых характеристик.
Длина волны $\lambda$ — это расстояние, которое волна проходит за время, равное одному периоду колебаний $T$. Скорость распространения волны $v$ в однородной среде постоянна, поэтому:
$\lambda = v \cdot T$
Циклическая (угловая) частота $\omega$ связана с периодом колебаний $T$ следующим соотношением:
$\omega = \frac{2\pi}{T}$, откуда следует, что $T = \frac{2\pi}{\omega}$.
Подставим выражение для периода $T$ в формулу для длины волны:
$\lambda = v \cdot \frac{2\pi}{\omega}$
Теперь преобразуем полученное равенство, чтобы прийти к искомому виду. Умножим обе части уравнения на $\omega$:
$\lambda \omega = 2\pi v$
Теперь разделим обе части на $v$:
$\frac{\lambda \omega}{v} = 2\pi$
И, наконец, разделим обе части на $\lambda$:
$\frac{\omega}{v} = \frac{2\pi}{\lambda}$
Это эквивалентно записи $2\pi/\lambda = \omega/v$. Соотношение доказано.

Ответ: Соотношение $\frac{2\pi}{\lambda} = \frac{\omega}{v}$ доказано в решении выше.

Какие из величин, входящих в равенство, зависят от свойств среды, в которой распространяется волна?

Рассмотрим величины, входящие в равенство $\frac{2\pi}{\lambda} = \frac{\omega}{v}$: циклическую частоту $\omega$, скорость распространения волны $v$ и длину волны $\lambda$.

1. Циклическая частота $\omega$ (а также связанная с ней линейная частота $\nu = \omega/2\pi$) определяется исключительно источником волны. Частота показывает, сколько колебаний совершает источник в единицу времени. При переходе волны из одной среды в другую ее частота остается неизменной. Следовательно, $\omega$ не зависит от свойств среды.

2. Скорость распространения волны $v$ является характеристикой среды. Она зависит от физических свойств среды, таких как плотность, упругость (для механических волн), диэлектрическая и магнитная проницаемости (для электромагнитных волн).

3. Длина волны $\lambda$ связана со скоростью и частотой через соотношение $\lambda = v/\nu$ или, что эквивалентно, $\lambda = \frac{2\pi v}{\omega}$. Так как скорость $v$ зависит от среды, а частота $\omega$ — нет, то длина волны $\lambda$ также зависит от свойств среды. При изменении скорости волны (например, при переходе в другую среду) ее длина волны изменяется пропорционально, чтобы сохранить частоту постоянной.

Ответ: От свойств среды, в которой распространяется волна, зависят скорость ее распространения $v$ и длина волны $\lambda$. Циклическая частота $\omega$ от свойств среды не зависит, а определяется источником волны.