Номер 35.48, страница 133 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Лукашик, Иванова

§ 35. Колебания. Глава 5. Механические колебания и волны - номер 35.48, страница 133.

35.48* [888*] Максимальную амплитуду вертикальных колебаний мячика, подвешенного на тонкой резинке, можно получить, если его нести, делая 48 шагов за 1 мин. Определите коэффициент упругости резинки, если масса мячика равна 60 г.

Дано:

$N = 48$ шагов

$t = 1$ мин

$m = 60$ г

Перевод в СИ:

$t = 60$ с

$m = 0.06$ кг

Найти:

$k$ - ?

Решение:

Максимальная амплитуда вертикальных колебаний мячика достигается при явлении резонанса. Резонанс наступает, когда частота вынуждающей силы становится равной собственной частоте колебаний системы.

В данном случае, вынуждающей силой являются периодические толчки, возникающие при ходьбе. Частота этой вынуждающей силы $\nu_{вын}$ равна частоте шагов:

$\nu_{вын} = \frac{N}{t}$

Система "мячик на резинке" представляет собой пружинный маятник. Собственная частота колебаний пружинного маятника $\nu_{соб}$ вычисляется по формуле:

$\nu_{соб} = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m}}$

где $k$ — коэффициент упругости (жесткости) резинки, а $m$ — масса мячика.

В условии резонанса частоты равны: $\nu_{вын} = \nu_{соб}$.

$\frac{N}{t} = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m}}$

Чтобы найти коэффициент упругости $k$, выразим его из этого уравнения. Сначала возведем обе части в квадрат:

$(\frac{N}{t})^2 = (\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m}})^2$

$(\frac{N}{t})^2 = \frac{1}{4\pi^2}\frac{k}{m}$

Теперь выразим $k$:

$k = 4\pi^2 m (\frac{N}{t})^2$

Подставим числовые значения в системе СИ:

$k = 4\pi^2 \cdot 0.06 \text{ кг} \cdot (\frac{48}{60 \text{ с}})^2$

$k = 4\pi^2 \cdot 0.06 \cdot (0.8)^2 \text{ Н/м}$

$k = 4\pi^2 \cdot 0.06 \cdot 0.64 \text{ Н/м}$

$k \approx 4 \cdot (3.1416)^2 \cdot 0.0384 \text{ Н/м}$

$k \approx 4 \cdot 9.8696 \cdot 0.0384 \text{ Н/м} \approx 1.516 \text{ Н/м}$

Округлим результат до двух значащих цифр.

$k \approx 1.5 \text{ Н/м}$

Ответ: $k \approx 1.5 \text{ Н/м}$.