Номер 29.32, страница 109 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Лукашик, Иванова

§ 29. Мощность. Глава 4. Работа и мощность. Простые механизмы. Энергия - номер 29.32, страница 109.

29.32 [727] Во сколько раз надо увеличить полезную мощность, затрачиваемую на движение лодки, чтобы увеличить её скорость от 1 до 2 м/с, если сопротивление воды пропорционально скорости?

Дано:

начальная скорость лодки, $v_1 = 1$ м/с
конечная скорость лодки, $v_2 = 2$ м/с
сила сопротивления воды, $F_{сопр} \propto v$ (пропорциональна скорости)
Все данные уже представлены в системе СИ.

Найти:

Отношение конечной полезной мощности к начальной, $\frac{P_2}{P_1}$

Решение:

Полезная мощность $P$, затрачиваемая на движение лодки, определяется по формуле: $P = F_{тяги} \cdot v$, где $F_{тяги}$ – сила тяги, создаваемая двигателем лодки, а $v$ – её скорость.

Поскольку лодка движется с постоянной скоростью (как в начальном, так и в конечном состоянии), это означает, что движение равномерное. Согласно первому закону Ньютона, при равномерном движении сила тяги уравновешивается силой сопротивления воды: $F_{тяги} = F_{сопр}$

Из условия задачи известно, что сила сопротивления воды пропорциональна скорости: $F_{сопр} = k \cdot v$, где $k$ – некоторый коэффициент пропорциональности, зависящий от формы лодки и свойств воды.

Подставив это выражение в формулу для силы тяги, а затем в формулу для мощности, получим зависимость полезной мощности от скорости: $P = F_{сопр} \cdot v = (k \cdot v) \cdot v = k \cdot v^2$ Таким образом, полезная мощность пропорциональна квадрату скорости движения.

Запишем выражения для полезной мощности в начальном и конечном состояниях: начальная мощность: $P_1 = k \cdot v_1^2$ конечная мощность: $P_2 = k \cdot v_2^2$

Теперь найдем, во сколько раз нужно увеличить мощность, то есть найдем отношение $\frac{P_2}{P_1}$: $\frac{P_2}{P_1} = \frac{k \cdot v_2^2}{k \cdot v_1^2} = \frac{v_2^2}{v_1^2} = \left(\frac{v_2}{v_1}\right)^2$

Подставим числовые значения скоростей: $\frac{P_2}{P_1} = \left(\frac{2 \text{ м/с}}{1 \text{ м/с}}\right)^2 = 2^2 = 4$

Ответ: полезную мощность надо увеличить в 4 раза.