Номер 29.30, страница 108 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Лукашик, Иванова

§ 29. Мощность. Глава 4. Работа и мощность. Простые механизмы. Энергия - номер 29.30, страница 108.

29.30 [725] Насос выбрасывает струю воды диаметром 2 см со скоростью 20 м/с. Какую полезную мощность развивает при этом насос?

Дано:

Диаметр струи, $d = 2$ см

Скорость струи, $v = 20$ м/с

Плотность воды, $\rho \approx 1000$ кг/м³

$d = 2 \text{ см} = 0.02 \text{ м}$

Найти:

Полезную мощность насоса, $P_{\text{полезн.}}$

Решение:

Полезная мощность насоса – это мощность, идущая на совершение полезной работы. В данном случае полезная работа заключается в сообщении воде кинетической энергии. Мощность – это скорость совершения работы, то есть отношение изменения кинетической энергии ко времени, за которое это изменение произошло.

$P_{\text{полезн.}} = \frac{\Delta E_k}{\Delta t}$

Кинетическая энергия $\Delta E_k$ массы воды $\Delta m$, выброшенной за время $\Delta t$ со скоростью $v$, равна:

$\Delta E_k = \frac{\Delta m \cdot v^2}{2}$

Массу воды $\Delta m$ можно найти через плотность $\rho$ и объем $\Delta V$:

$\Delta m = \rho \cdot \Delta V$

Объем воды $\Delta V$, выброшенной за время $\Delta t$, равен объему цилиндра с площадью основания $S$ (поперечное сечение струи) и длиной $l = v \cdot \Delta t$.

$\Delta V = S \cdot l = S \cdot v \cdot \Delta t$

Площадь поперечного сечения струи, имеющего форму круга с диаметром $d$, равна:

$S = \frac{\pi d^2}{4}$

Объединим все формулы. Выражение для мощности принимает вид:

$P_{\text{полезн.}} = \frac{\Delta E_k}{\Delta t} = \frac{1}{\Delta t} \cdot \frac{\Delta m \cdot v^2}{2} = \frac{1}{\Delta t} \cdot \frac{(\rho \cdot \Delta V) \cdot v^2}{2} = \frac{1}{\Delta t} \cdot \frac{(\rho \cdot S \cdot v \cdot \Delta t) \cdot v^2}{2}$

Сократив $\Delta t$, получаем итоговую формулу для расчета полезной мощности:

$P_{\text{полезн.}} = \frac{\rho S v^3}{2} = \frac{\rho \pi d^2 v^3}{8}$

Подставим числовые значения в системе СИ:

$P_{\text{полезн.}} = \frac{1000 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} \cdot \pi \cdot (0.02 \text{ м})^2 \cdot (20 \frac{\text{м}}{\text{с}})^3}{8} = \frac{1000 \cdot \pi \cdot 0.0004 \text{ м}^2 \cdot 8000 \frac{\text{м}^3}{\text{с}^3}}{8}$

$P_{\text{полезн.}} = \frac{1000 \cdot \pi \cdot 0.0004 \cdot 8000}{8} \text{ Вт} = 1000 \cdot \pi \cdot 0.0004 \cdot 1000 \text{ Вт} = 400 \pi \text{ Вт}$

Вычислим числовое значение:

$P_{\text{полезн.}} \approx 400 \cdot 3.14159 \text{ Вт} \approx 1256.6 \text{ Вт}$

Округлим результат до трех значащих цифр и выразим в киловаттах:

$P_{\text{полезн.}} \approx 1260 \text{ Вт} = 1.26 \text{ кВт}$

Ответ: полезная мощность, развиваемая насосом, составляет $1.26$ кВт.