Номер 29.31, страница 108 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Лукашик, Иванова

§ 29. Мощность. Глава 4. Работа и мощность. Простые механизмы. Энергия - номер 29.31, страница 108.

29.31 [726] Автомобиль «Волга-24» массой 1420 кг, трогаясь с места, развивает скорость 100 км/ч за 20 с. Определите среднее значение полезной мощности за время разгона и мгновенное значение мощности в конце разгона.

Дано:

Масса автомобиля, $m = 1420$ кг
Начальная скорость, $v_0 = 0$ (автомобиль трогается с места)
Конечная скорость, $v = 100$ км/ч
Время разгона, $t = 20$ с

Перевод в систему СИ:

$v = 100 \frac{\text{км}}{\text{ч}} = 100 \cdot \frac{1000 \text{ м}}{3600 \text{ с}} = \frac{1000}{36} \frac{\text{м}}{\text{с}} = \frac{250}{9} \frac{\text{м}}{\text{с}} \approx 27.78 \frac{\text{м}}{\text{с}}$

Найти:

Среднее значение полезной мощности, $P_{ср}$ - ?
Мгновенное значение мощности в конце разгона, $P_{мгн}$ - ?

Решение:

Определите среднее значение полезной мощности за время разгона
Средняя полезная мощность $P_{ср}$ определяется как отношение полезной работы $A$, совершенной двигателем, ко времени $t$, за которое эта работа была совершена: $P_{ср} = \frac{A}{t}$.
Полезная работа в данном случае идет на увеличение кинетической энергии автомобиля. Согласно теореме о кинетической энергии, работа равна изменению кинетической энергии: $A = \Delta E_k = E_k - E_{k0}$.
Начальная кинетическая энергия $E_{k0} = \frac{mv_0^2}{2} = 0$, так как автомобиль начинает движение из состояния покоя.
Конечная кинетическая энергия $E_k = \frac{mv^2}{2}$.
Следовательно, полезная работа равна $A = \frac{mv^2}{2}$.
Подставим это в формулу для средней мощности: $P_{ср} = \frac{mv^2}{2t}$.
Произведем вычисления: $P_{ср} = \frac{1420 \text{ кг} \cdot (\frac{250}{9} \text{ м/с})^2}{2 \cdot 20 \text{ с}} = \frac{1420 \cdot \frac{62500}{81}}{40} \text{ Вт} \approx 27392 \text{ Вт}$.
Переведем результат в киловатты: $27392 \text{ Вт} \approx 27.4 \text{ кВт}$.

Ответ: среднее значение полезной мощности за время разгона составляет примерно 27.4 кВт.

Определите мгновенное значение мощности в конце разгона
Мгновенная мощность $P_{мгн}$ в конце разгона равна произведению силы тяги $F$ на конечную скорость автомобиля $v$: $P_{мгн} = F \cdot v$.
Будем считать движение равноускоренным, тогда ускорение $a$ постоянно и равно: $a = \frac{v - v_0}{t} = \frac{v}{t}$.
Согласно второму закону Ньютона, сила тяги, сообщающая это ускорение, равна: $F = m \cdot a = m \frac{v}{t}$.
Теперь можем найти мгновенную мощность в конце разгона (при скорости $v$): $P_{мгн} = F \cdot v = (m \frac{v}{t}) \cdot v = \frac{mv^2}{t}$.
Можно заметить, что $P_{мгн} = 2 \cdot P_{ср}$.
Произведем вычисления: $P_{мгн} = \frac{1420 \text{ кг} \cdot (\frac{250}{9} \text{ м/с})^2}{20 \text{ с}} = \frac{1420 \cdot \frac{62500}{81}}{20} \text{ Вт} \approx 54784 \text{ Вт}$.
Переведем результат в киловатты: $54784 \text{ Вт} \approx 54.8 \text{ кВт}$.

Ответ: мгновенное значение мощности в конце разгона составляет примерно 54.8 кВт.