Номер 28.31, страница 104 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Лукашик, Иванова

§ 28. Механическая работа. Глава 4. Работа и мощность. Простые механизмы. Энергия - номер 28.31, страница 104.

28.31 [н] Тело, брошенное в горизонтальном направлении с некоторой высоты $h = |\Delta y|$ (рис. IV-6), упало на землю, пройдя путь $s$ и совершив перемещение $\vec{r}$. По каким из формул, приведённых ниже, можно вычислить работу силы тяжести $\vec{F}$?

1) $A = F \cdot s$

2) $A = |\vec{F}| \cdot h$

3) $A = F \cdot r$

4) $A = \vec{F} \cdot \vec{r}$

5) $|\vec{F}| \cdot |\vec{r}| \cdot \cos \alpha$

Рис. IV-6

Работа $A$, совершаемая постоянной силой, определяется как скалярное произведение вектора силы $\vec{F}$ на вектор перемещения $\vec{r}$. В данном случае сила тяжести $\vec{F}$ является постоянной (направлена вертикально вниз и по модулю равна $mg$, где $m$ — масса тела, а $g$ — ускорение свободного падения). Перемещение тела — это вектор $\vec{r}$, соединяющий начальную и конечную точки траектории.

Общая формула для работы постоянной силы $\vec{F}$ при перемещении $\vec{r}$:

$A = \vec{F} \cdot \vec{r} = |\vec{F}| \cdot |\vec{r}| \cdot \cos\alpha$

где $\alpha$ — угол между векторами $\vec{F}$ и $\vec{r}$.

Работа силы тяжести также может быть найдена как изменение потенциальной энергии со знаком минус: $A = -\Delta U = -(U_f - U_i)$. Если принять уровень земли (ось X) за ноль потенциальной энергии ($U_f = 0$), то начальная потенциальная энергия на высоте $h$ равна $U_i = mgh$. Тогда работа силы тяжести равна $A = -(0 - mgh) = mgh$.

Проанализируем каждую из предложенных формул на предмет ее корректности для вычисления работы силы тяжести.

1) $A = F \cdot s$

В этой формуле $F = |\vec{F}|$ — модуль силы тяжести, а $s$ — это длина пути, то есть длина дуги параболической траектории. Работа силы зависит от вектора перемещения, а не от пройденного пути. Данная формула была бы верна только для случая, когда сила постоянна по направлению и величине и действует вдоль прямолинейной траектории движения. В рассматриваемой задаче траектория криволинейная, и путь $s$ всегда больше модуля перемещения $|\vec{r}|$. Поэтому эта формула неверна.

Ответ: Неверно.

2) $A = |\vec{F}| \cdot h$

Здесь $|\vec{F}|$ — модуль силы тяжести, а $h$ — это модуль вертикального перемещения тела. Работа силы тяжести, как консервативной силы, зависит только от разности высот начальной и конечной точек. Сила тяжести $\vec{F}$ направлена вертикально вниз. Вертикальная составляющая перемещения также направлена вниз и равна по модулю $h$. Поскольку направление силы совпадает с направлением вертикальной составляющей перемещения, работа положительна и равна произведению модуля силы на модуль вертикального перемещения: $A = |\vec{F}| \cdot h = mgh$. Эта формула верна.

Ответ: Верно.

3) $A = F \cdot r$

Здесь $F = |\vec{F}|$ — модуль силы, а $r = |\vec{r}|$ — модуль полного вектора перемещения. Эта формула представляет собой произведение модулей векторов силы и перемещения. Она была бы верна, только если бы векторы силы и перемещения были сонаправлены (угол между ними $\alpha=0$, и $\cos\alpha=1$). В данном случае сила тяжести направлена вертикально вниз, а вектор перемещения $\vec{r}$ направлен под углом $\alpha > 0$ к вертикали. Следовательно, эта формула неверна.

Ответ: Неверно.

4) $A = \vec{F} \cdot \vec{r}$

Это фундаментальное определение работы, совершаемой постоянной силой $\vec{F}$ на перемещении $\vec{r}$. Поскольку сила тяжести в поле тяготения Земли (вблизи ее поверхности) является постоянной по величине и направлению, эта формула абсолютно верна для вычисления ее работы. В координатной форме: $\vec{F}=(0, -mg)$, $\vec{r}=(x, -h)$. Тогда их скалярное произведение: $A = \vec{F} \cdot \vec{r} = 0 \cdot x + (-mg) \cdot (-h) = mgh$. Формула верна.

Ответ: Верно.

5) $A = |\vec{F}| \cdot |\vec{r}| \cdot \cos\alpha$

Эта формула является определением скалярного произведения векторов через их модули и косинус угла между ними. На рисунке угол $\alpha$ — это угол между вектором силы $\vec{F}$ (направлен вертикально вниз) и вектором перемещения $\vec{r}$. Из прямоугольного треугольника, образованного горизонтальной и вертикальной составляющими перемещения, видно, что вертикальная составляющая $h$ связана с модулем перемещения $|\vec{r}|$ через $h = |\vec{r}| \cdot \cos\alpha$. Подставляя это в формулу, получаем: $A = |\vec{F}| \cdot (|\vec{r}| \cos\alpha) = |\vec{F}| \cdot h = mgh$. Таким образом, эта формула эквивалентна формуле 2 и является верной.

Ответ: Верно.