Номер 31.9, страница 116 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Лукашик, Иванова

§ 31. Блоки. Глава 4. Работа и мощность. Простые механизмы. Энергия - номер 31.9, страница 116.

31.9⁰ [765⁰] Для подъёма одного и того же груза используют две системы блоков (рис. IV-33). Равные ли силы надо приложить к концам A троса, если трение во всех блоках одинаково, а вес подвижного блока много меньше веса груза? Ответ поясните.

Рис. IV-33

Дано:

Вес груза: $P$

Вес подвижного блока: $p$

Сила трения в каждом блоке: $F_{tr}$

Условие: $p \ll P$

Найти:

Сравнить силы $F_1$ и $F_2$, приложенные к концу троса А в первой и второй системах соответственно.

Решение:

Для ответа на вопрос необходимо определить, какую силу нужно приложить в каждом из двух случаев, учитывая все условия задачи, а затем сравнить полученные значения.

Анализ системы 1

В первой системе используется один подвижный и один неподвижный блок. Подвижный блок предназначен для получения выигрыша в силе.Рассмотрим силы, действующие на узел "подвижный блок + груз". Вниз действует суммарная сила тяжести $(P + p)$. Вверх действуют две ветви троса. Пусть натяжение ветви троса, идущей от неподвижного блока, равно $T_1$, а натяжение ветви, закрепленной на опоре, равно $T_2$. Для равномерного подъема груза должно выполняться равенство сил:

$T_1 + T_2 = P + p$

При движении троса через подвижный блок возникает сила трения $F_{tr}$. Натяжение в ведущей ветви ($T_1$) будет больше натяжения в ведомой ($T_2$) на величину силы трения:

$T_1 = T_2 + F_{tr}$

Выразим $T_2$ из второго уравнения ($T_2 = T_1 - F_{tr}$) и подставим в первое:

$T_1 + (T_1 - F_{tr}) = P + p$

$2T_1 - F_{tr} = P + p$

Отсюда находим натяжение $T_1$:

$T_1 = \frac{P + p + F_{tr}}{2}$

Сила $F_1$, которую необходимо приложить к концу троса A, должна преодолеть натяжение $T_1$ и силу трения $F_{tr}$ в неподвижном блоке:

$F_1 = T_1 + F_{tr}$

Подставим в это выражение найденное значение $T_1$:

$F_1 = \left( \frac{P + p + F_{tr}}{2} \right) + F_{tr} = \frac{P + p}{2} + \frac{F_{tr}}{2} + F_{tr} = \frac{P + p}{2} + \frac{3}{2}F_{tr}$

Согласно условию, вес подвижного блока много меньше веса груза ($p \ll P$), поэтому слагаемым $p/2$ можно пренебречь. Тогда сила $F_1$ примерно равна:

$F_1 \approx \frac{P}{2} + \frac{3}{2}F_{tr}$

Анализ системы 2

Во второй системе используются два неподвижных блока. Такая система не дает выигрыша в силе, а служит только для изменения направления приложения силы.

Чтобы поднять груз весом $P$, натяжение троса сразу над ним, $T_{груз}$, должно быть равно $P$ (для равномерного подъема).

$T_{груз} = P$

Этот трос перекинут через левый неподвижный блок. Натяжение в горизонтальном участке троса, $T_{гориз}$, должно преодолеть натяжение $T_{груз}$ и силу трения $F_{tr}$ в левом блоке:

$T_{гориз} = T_{груз} + F_{tr} = P + F_{tr}$

Далее трос перекинут через правый неподвижный блок. Сила $F_2$, приложенная к концу троса А, должна преодолеть натяжение $T_{гориз}$ и силу трения $F_{tr}$ в правом блоке:

$F_2 = T_{гориз} + F_{tr}$

Подставим выражение для $T_{гориз}$:

$F_2 = (P + F_{tr}) + F_{tr} = P + 2F_{tr}$

Сравнение сил

Сравним выражения для сил $F_1$ и $F_2$:

$F_1 \approx \frac{P}{2} + 1.5 F_{tr}$

$F_2 = P + 2 F_{tr}$

Поскольку вес груза $P$ и сила трения $F_{tr}$ являются положительными величинами, очевидно, что $P > \frac{P}{2}$ и $2 F_{tr} > 1.5 F_{tr}$. Следовательно, сила $F_2$ всегда будет больше силы $F_1$.

Разница между силами составляет:

$F_2 - F_1 \approx (P + 2 F_{tr}) - (\frac{P}{2} + 1.5 F_{tr}) = \frac{P}{2} + 0.5 F_{tr}$

Эта разница положительна, что подтверждает, что $F_2 > F_1$.

Таким образом, силы, которые надо приложить к концам троса А, не равны.

Ответ: Нет, силы не равны. Для подъема груза с помощью второй системы (рис. 2) требуется приложить большую силу, чем с помощью первой системы (рис. 1). Это связано с тем, что первая система с подвижным блоком дает выигрыш в силе примерно в два раза (уменьшая необходимую силу до $\approx \frac{P}{2}$), в то время как вторая система с двумя неподвижными блоками выигрыша в силе не дает, и требуемая сила равна весу груза $P$. В обоих случаях к этому добавляется суммарная сила трения в блоках. В результате $F_1 \approx \frac{P}{2} + 1.5 F_{tr}$, а $F_2 = P + 2 F_{tr}$, из чего следует, что $F_2 > F_1$.