Номер 31.20, страница 118 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Лукашик, Иванова

§ 31. Блоки. Глава 4. Работа и мощность. Простые механизмы. Энергия - номер 31.20, страница 118.

31.20* [775*] Гиря массой 500 г соединена с другой гирей массой $m_2$ лёгкой нерастяжимой нитью, перекинутой через невесомый блок. Чему должна быть равна масса второй гири, чтобы первая гиря двигалась вверх с ускорением $2,4 \text{ м/с}^2$? чтобы первая гиря двигалась бы вниз с тем же ускорением? (Трением можно пренебречь.)

Дано:

$m_1 = 500 \text{ г} = 0.5 \text{ кг}$
$a = 2.4 \text{ м/с²}$
$g \approx 9.8 \text{ м/с²}$ (ускорение свободного падения)

Найти:

$m_2$ - ? (в обоих случаях)

Решение:

Рассмотрим систему двух тел (гирь), связанных нерастяжимой и невесомой нитью, перекинутой через невесомый блок. На каждую гирю действует сила тяжести (направлена вниз) и сила натяжения нити (направлена вверх). Так как нить и блок идеальные, сила натяжения нити $T$ одинакова по всей длине, а ускорения гирь равны по модулю.

чтобы первая гиря двигалась вверх с ускорением 2,4 м/с²?

В этом случае первая гиря $m_1$ движется вверх, а вторая гиря $m_2$ — вниз с одинаковым ускорением $a$. Запишем второй закон Ньютона для каждой гири в проекции на вертикальную ось, направленную вверх:

Для первой гири ($m_1$):
$T - m_1g = m_1a$

Для второй гири ($m_2$), которая движется вниз (ее ускорение в проекции на ось будет $-a$):
$T - m_2g = -m_2a$

Получили систему из двух уравнений. Выразим из них массу $m_2$.
Из первого уравнения выразим силу натяжения нити $T$:
$T = m_1a + m_1g = m_1(a+g)$

Подставим это выражение во второе уравнение:
$m_1(a+g) - m_2g = -m_2a$

Перенесем слагаемые с $m_2$ в одну сторону:
$m_2g - m_2a = m_1(a+g)$
$m_2(g-a) = m_1(g+a)$

Отсюда находим $m_2$:
$m_2 = m_1 \frac{g+a}{g-a}$

Подставим числовые значения:
$m_2 = 0.5 \text{ кг} \cdot \frac{9.8 \text{ м/с²} + 2.4 \text{ м/с²}}{9.8 \text{ м/с²} - 2.4 \text{ м/с²}} = 0.5 \text{ кг} \cdot \frac{12.2}{7.4} \approx 0.8243 \text{ кг} \approx 824 \text{ г}$

Ответ: чтобы первая гиря двигалась вверх с ускорением 2,4 м/с², масса второй гири должна быть равна примерно 824 г.

чтобы первая гиря двигалась бы вниз с тем же ускорением?

В этом случае первая гиря $m_1$ движется вниз, а вторая гиря $m_2$ — вверх с ускорением $a$. Запишем второй закон Ньютона для каждой гири в проекции на вертикальную ось, направленную вверх:

Для первой гири ($m_1$), которая движется вниз (ее ускорение в проекции на ось будет $-a$):
$T - m_1g = -m_1a$

Для второй гири ($m_2$):
$T - m_2g = m_2a$

Снова решаем систему уравнений.
Из первого уравнения выразим силу натяжения нити $T$:
$T = m_1g - m_1a = m_1(g-a)$

Подставим это выражение во второе уравнение:
$m_1(g-a) - m_2g = m_2a$

Перенесем слагаемые с $m_2$ в одну сторону:
$m_1(g-a) = m_2a + m_2g$
$m_1(g-a) = m_2(a+g)$

Отсюда находим $m_2$:
$m_2 = m_1 \frac{g-a}{g+a}$

Подставим числовые значения:
$m_2 = 0.5 \text{ кг} \cdot \frac{9.8 \text{ м/с²} - 2.4 \text{ м/с²}}{9.8 \text{ м/с²} + 2.4 \text{ м/с²}} = 0.5 \text{ кг} \cdot \frac{7.4}{12.2} \approx 0.3033 \text{ кг} \approx 303 \text{ г}$

Ответ: чтобы первая гиря двигалась вниз с ускорением 2,4 м/с², масса второй гири должна быть равна примерно 303 г.