Номер 31.24, страница 119 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Лукашик, Иванова

§ 31. Блоки. Глава 4. Работа и мощность. Простые механизмы. Энергия - номер 31.24, страница 119.

31.24* [779*] К пружинным весам (рис. IV-42) подвешен блок. Через блок перекинут нерастяжимый шнур, Рис. IV-42 Рис. IV-43 к концам которого привязаны грузы массами 1 кг и 2 кг. Какой вес будут регистрировать пружинные весы во время движения грузов? (Вес блока и шнура не учитывайте.)

Рис. IV-42

Дано:

Масса первого груза, $m_1 = 1 \text{ кг}$

Масса второго груза, $m_2 = 2 \text{ кг}$

Ускорение свободного падения, $g \approx 9.8 \text{ м/с}^2$

Вес блока и шнура не учитывается.

Найти:

Вес (показания пружинных весов), $P - ?$

Решение:

Пружинные весы измеряют силу упругости, возникающую в пружине. Согласно третьему закону Ньютона, эта сила равна по модулю силе, с которой на весы действует подвешенная система. Система состоит из блока, через который перекинут шнур с двумя грузами. Поскольку блок и шнур невесомы, сила, действующая на весы, равна сумме сил натяжения шнура с обеих сторон блока. Обозначим силу натяжения шнура как $T$. Так как шнур идеален (нерастяжим и невесом) и трение в блоке отсутствует, сила натяжения одинакова по всей длине шнура. Таким образом, показания весов будут равны:

$P = 2T$

Чтобы найти силу натяжения $T$, рассмотрим движение грузов. Так как масса $m_2$ больше массы $m_1$, груз $m_2$ будет опускаться с ускорением $a$, а груз $m_1$ будет подниматься с таким же по модулю ускорением $a$.

Запишем второй закон Ньютона для каждого груза в проекции на вертикальную ось. Направим ось OY вверх.

Для груза массой $m_1$:

$\sum F_1 = T - m_1g = m_1a \quad (1)$

Для груза массой $m_2$:

$\sum F_2 = T - m_2g = -m_2a \quad (2)$

Получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными: $a$ и $T$. Решим эту систему, чтобы найти $T$. Проще всего сначала найти ускорение $a$. Для этого выразим $T$ из обоих уравнений и приравняем:

Из (1): $T = m_1a + m_1g$

Из (2): $T = m_2g - m_2a$

$m_1a + m_1g = m_2g - m_2a$

$m_1a + m_2a = m_2g - m_1g$

$a(m_1 + m_2) = g(m_2 - m_1)$

Отсюда находим ускорение системы:

$a = g \frac{m_2 - m_1}{m_1 + m_2}$

Теперь подставим найденное ускорение $a$ в выражение для $T$ из первого уравнения:

$T = m_1(a + g) = m_1 \left( g \frac{m_2 - m_1}{m_1 + m_2} + g \right)$

$T = m_1g \left( \frac{m_2 - m_1}{m_1 + m_2} + 1 \right) = m_1g \left( \frac{m_2 - m_1 + m_1 + m_2}{m_1 + m_2} \right)$

$T = m_1g \frac{2m_2}{m_1 + m_2} = \frac{2m_1m_2g}{m_1 + m_2}$

Теперь мы можем вычислить показания весов $P$:

$P = 2T = 2 \cdot \frac{2m_1m_2g}{m_1 + m_2} = \frac{4m_1m_2g}{m_1 + m_2}$

Подставим числовые значения из условия задачи:

$P = \frac{4 \cdot 1 \text{ кг} \cdot 2 \text{ кг} \cdot 9.8 \text{ м/с}^2}{1 \text{ кг} + 2 \text{ кг}} = \frac{8 \cdot 9.8}{3} \text{ Н} = \frac{78.4}{3} \text{ Н} \approx 26.133... \text{ Н}$

Округлим результат до сотых.

Ответ: Вес, который будут регистрировать пружинные весы, равен $P = \frac{78.4}{3} \text{ Н} \approx 26.13 \text{ Н}$.