Номер 31.19, страница 118 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Лукашик, Иванова

§ 31. Блоки. Глава 4. Работа и мощность. Простые механизмы. Энергия - номер 31.19, страница 118.

31.19* [774*] На концах невесомой нерастяжимой нити, перекинутой через лёгкий неподвижный блок, подвешены два груза, массы которых равны 100 г и 200 г. В начальный момент времени грузы покоятся на высоте 2 м от пола. Потом их отпускают, и они начинают двигаться. Пренебрегая трением, определите ускорение грузов, натяжение нити при движении грузов и время, за которое груз массой 200 г достигнет пола.

Дано:

$m_1 = 100 \text{ г} = 0.1 \text{ кг}$
$m_2 = 200 \text{ г} = 0.2 \text{ кг}$
$h = 2 \text{ м}$
$g \approx 9.8 \frac{\text{м}}{\text{с}^2}$

Найти:

$a - ?$
$T - ?$
$t - ?$

Решение:

На грузы, связанные нитью, действуют силы тяжести и сила натяжения нити. Запишем второй закон Ньютона для каждого груза в проекции на вертикальную ось, направленную вниз. Так как $m_2 > m_1$, груз $m_2$ будет двигаться вниз с ускорением $a$, а груз $m_1$ — вверх с таким же по модулю ускорением.

Для груза $m_2$: $m_2g - T = m_2a$ (1)

Для груза $m_1$: $T - m_1g = m_1a$ (2)

Получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными: $a$ (ускорение) и $T$ (сила натяжения нити).

Ускорение грузов

Чтобы найти ускорение, сложим уравнения (1) и (2):

$ (m_2g - T) + (T - m_1g) = m_2a + m_1a $

$ m_2g - m_1g = (m_1 + m_2)a $

Отсюда выражаем ускорение $a$:

$ a = \frac{m_2 - m_1}{m_1 + m_2}g $

Подставим числовые значения:

$ a = \frac{0.2 \text{ кг} - 0.1 \text{ кг}}{0.1 \text{ кг} + 0.2 \text{ кг}} \cdot 9.8 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} = \frac{0.1}{0.3} \cdot 9.8 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} = \frac{1}{3} \cdot 9.8 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} \approx 3.27 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} $

Ответ: ускорение грузов примерно равно $3.27 \frac{\text{м}}{\text{с}^2}$.

Натяжение нити при движении грузов

Для нахождения силы натяжения нити $T$ выразим ее из уравнения (2):

$ T = m_1a + m_1g = m_1(a + g) $

Подставим найденное значение ускорения $a$:

$ T = 0.1 \text{ кг} \cdot (3.27 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} + 9.8 \frac{\text{м}}{\text{с}^2}) = 0.1 \text{ кг} \cdot 13.07 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} \approx 1.31 \text{ Н} $

Можно также использовать более точную формулу, подставив выражение для $a$ в формулу для $T$:

$ T = m_1\left(\frac{m_2 - m_1}{m_1 + m_2}g + g\right) = m_1g\left(\frac{m_2 - m_1 + m_1 + m_2}{m_1 + m_2}\right) = \frac{2m_1m_2g}{m_1 + m_2} $

$ T = \frac{2 \cdot 0.1 \text{ кг} \cdot 0.2 \text{ кг} \cdot 9.8 \frac{\text{м}}{\text{с}^2}}{0.1 \text{ кг} + 0.2 \text{ кг}} = \frac{0.04 \cdot 9.8}{0.3} \text{ Н} \approx 1.31 \text{ Н} $

Ответ: натяжение нити при движении грузов примерно равно $1.31 \text{ Н}$.

Время, за которое груз массой 200 г достигнет пола

Груз массой $m_2=200$ г движется равноускоренно из состояния покоя ($v_0 = 0$) и проходит путь $h=2$ м. Используем формулу для пути при равноускоренном движении:

$ h = v_0t + \frac{at^2}{2} $

Так как начальная скорость равна нулю, формула упрощается:

$ h = \frac{at^2}{2} $

Выразим время $t$:

$ t = \sqrt{\frac{2h}{a}} $

Подставим числовые значения. Для большей точности используем $a = \frac{9.8}{3} \frac{\text{м}}{\text{с}^2}$:

$ t = \sqrt{\frac{2 \cdot 2 \text{ м}}{\frac{9.8}{3} \frac{\text{м}}{\text{с}^2}}} = \sqrt{\frac{4 \cdot 3}{9.8}} \text{ с} = \sqrt{\frac{12}{9.8}} \text{ с} \approx \sqrt{1.2245} \text{ с} \approx 1.11 \text{ с} $

Ответ: груз массой 200 г достигнет пола примерно за $1.11 \text{ с}$.