Номер 31.21, страница 118 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Лукашик, Иванова

31.21* [776*] Два бруска А и В массами по 1 кг каждый соединены лёгкой нерастяжимой нитью, перекинутой через блок (рис. IV-40). Определите ускорение, с которым движутся бруски, и

Рис. IV-40

силу натяжения нити. (Трением можно пренебречь.)

Дано:

масса бруска A, $m_A = 1$ кг

масса бруска B, $m_B = 1$ кг

ускорение свободного падения, $g \approx 9.8$ м/с$^2$

Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

ускорение брусков, $a$ - ?

силу натяжения нити, $T$ - ?

Решение:

Рассмотрим силы, действующие на каждый брусок, и применим второй закон Ньютона. Поскольку нить нерастяжима, оба бруска движутся с одинаковым по модулю ускорением $a$. Так как нить легкая и трением в блоке можно пренебречь, сила натяжения нити $T$ одинакова по всей ее длине.

1. Для бруска A, движущегося вертикально вниз. На него действуют две силы: сила тяжести $m_A g$, направленная вниз, и сила натяжения нити $T$, направленная вверх. Выберем ось OY, направленную вертикально вниз. Второй закон Ньютона в проекции на эту ось запишется так:

$m_A g - T = m_A a$ (1)

2. Для бруска B, движущегося горизонтально. На него действуют сила тяжести $m_B g$ (вниз), сила нормальной реакции опоры $N$ (вверх) и сила натяжения нити $T$ (горизонтально, влево). По условию, трением можно пренебречь. Движение происходит только в горизонтальном направлении. Выберем ось OX, направленную горизонтально влево. Второй закон Ньютона в проекции на эту ось:

$T = m_B a$ (2)

Силы, действующие по вертикали на брусок B, скомпенсированы: $N = m_B g$.

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными ($a$ и $T$):

$\begin{cases} m_A g - T = m_A a \\ T = m_B a \end{cases}$

Подставим второе уравнение в первое, чтобы найти ускорение $a$:

$m_A g - (m_B a) = m_A a$

$m_A g = m_A a + m_B a$

$m_A g = (m_A + m_B)a$

Отсюда выразим ускорение:

$a = \frac{m_A g}{m_A + m_B}$

Подставим числовые значения:

$a = \frac{1 \text{ кг} \cdot 9.8 \text{ м/с}^2}{1 \text{ кг} + 1 \text{ кг}} = \frac{9.8}{2} \text{ м/с}^2 = 4.9 \text{ м/с}^2$

Теперь, зная ускорение, найдем силу натяжения нити $T$ из второго уравнения:

$T = m_B a$

Подставим числовые значения:

$T = 1 \text{ кг} \cdot 4.9 \text{ м/с}^2 = 4.9 \text{ Н}$

Ответ: ускорение, с которым движутся бруски, равно $4.9$ м/с$^2$; сила натяжения нити равна $4.9$ Н.