Номер 31.22, страница 119 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Лукашик, Иванова

§ 31. Блоки. Глава 4. Работа и мощность. Простые механизмы. Энергия - номер 31.22, страница 119.

31.22* [777*] На наклонной плоскости с углом 30° при основании находится брусок массой 1 кг (рис. IV-41). Гиря такой же массы соединена с бруском при помощи невесомой нерастяжимой нити, перекинутой через легкий блок. Определите ускорение, с которым движутся оба тела, и силу натяжения нити. (Трение не учитывайте.)

Рис. IV-41

Дано:

угол наклона плоскости $\alpha = 30^\circ$
масса бруска $m_1 = 1 \text{ кг}$
масса гири $m_2 = 1 \text{ кг}$
ускорение свободного падения $g \approx 9.8 \text{ м/с}^2$

Найти:

ускорение тел $a - ?$
силу натяжения нити $T - ?$

Решение:

Система состоит из двух тел, соединенных нерастяжимой и невесомой нитью, перекинутой через легкий блок. Это означает, что оба тела движутся с одинаковым по модулю ускорением $a$, и сила натяжения нити $T$ одинакова по всей ее длине. Трением пренебрегаем.

Рассмотрим силы, действующие на каждое тело. На брусок $m_1$, находящийся на наклонной плоскости, действуют: сила тяжести $m_1g$ (направлена вертикально вниз), сила нормальной реакции опоры $N$ (перпендикулярна наклонной плоскости) и сила натяжения нити $T$ (направлена вверх вдоль наклонной плоскости). На гирю $m_2$ действуют: сила тяжести $m_2g$ (направлена вертикально вниз) и сила натяжения нити $T$ (направлена вертикально вверх).

Чтобы определить направление движения, сравним силу, тянущую гирю вниз ($m_2g$), и составляющую силы тяжести, тянущую брусок вниз по наклонной плоскости ($m_1g \sin\alpha$):
$F_{гири} = m_2g = 1 \text{ кг} \cdot g = g$
$F_{бруска} = m_1g \sin\alpha = 1 \text{ кг} \cdot g \cdot \sin(30^\circ) = g \cdot 0.5 = 0.5g$
Так как $F_{гири} > F_{бруска}$, гиря $m_2$ будет опускаться, а брусок $m_1$ — подниматься по наклонной плоскости. Ускорение $a$ будет направлено вверх по наклонной плоскости для $m_1$ и вниз для $m_2$.

Запишем второй закон Ньютона для каждого тела в проекциях на оси движения.

Для бруска $m_1$ (ось направлена вверх вдоль наклонной плоскости):
$T - m_1g \sin\alpha = m_1a$ (1)

Для гири $m_2$ (ось направлена вертикально вниз):
$m_2g - T = m_2a$ (2)

Мы получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными $a$ и $T$. Сложим уравнения (1) и (2), чтобы исключить $T$:
$(T - m_1g \sin\alpha) + (m_2g - T) = m_1a + m_2a$
$m_2g - m_1g \sin\alpha = a(m_1 + m_2)$

Отсюда выразим ускорение $a$:
$a = \frac{g(m_2 - m_1 \sin\alpha)}{m_1 + m_2}$

Подставим числовые значения, учитывая, что $m_1 = m_2 = 1 \text{ кг}$:
$a = \frac{9.8 \text{ м/с}^2 \cdot (1 \text{ кг} - 1 \text{ кг} \cdot \sin(30^\circ))}{1 \text{ кг} + 1 \text{ кг}} = \frac{9.8 \cdot (1 - 0.5)}{2} = \frac{9.8 \cdot 0.5}{2} = \frac{4.9}{2} = 2.45 \text{ м/с}^2$

Теперь найдем силу натяжения нити $T$. Выразим ее из уравнения (2):
$T = m_2g - m_2a = m_2(g - a)$

Подставим числовые значения:
$T = 1 \text{ кг} \cdot (9.8 \text{ м/с}^2 - 2.45 \text{ м/с}^2) = 1 \cdot 7.35 = 7.35 \text{ Н}$

Ответ: ускорение тел равно $2.45 \text{ м/с}^2$, сила натяжения нити равна $7.35 \text{ Н}$.