Номер 34.13, страница 125 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Лукашик, Иванова

§ 34. Энергия. Закон сохранения энергии. Глава 4. Работа и мощность. Простые механизмы. Энергия - номер 34.13, страница 125.

34.13 [815] Груз растягивает пружину динамометра на 1 см. Во сколько раз увеличится потенциальная энергия пружины, если массу груза утроить?

Дано:

$x_1 = 1 \text{ см} = 0.01 \text{ м}$
$m_2 = 3m_1$

Найти:

$\frac{E_{p2}}{E_{p1}}$

Решение:

Когда груз подвешен к пружине и находится в состоянии покоя, сила упругости пружины $F_{упр}$ уравновешивает силу тяжести $F_{тяж}$, действующую на груз. Согласно закону Гука, сила упругости пропорциональна растяжению пружины: $F_{упр} = kx$, где $k$ — жесткость пружины, а $x$ — ее растяжение. Сила тяжести равна $F_{тяж} = mg$, где $m$ — масса груза, а $g$ — ускорение свободного падения.

В первом случае, для груза массой $m_1$:
$F_{упр1} = F_{тяж1}$
$kx_1 = m_1g$ (1)

Во втором случае масса груза утраивается, $m_2 = 3m_1$. Обозначим новое растяжение пружины как $x_2$.
$F_{упр2} = F_{тяж2}$
$kx_2 = m_2g = (3m_1)g$ (2)

Чтобы найти, как изменилось растяжение, разделим уравнение (2) на уравнение (1):
$\frac{kx_2}{kx_1} = \frac{3m_1g}{m_1g}$
$\frac{x_2}{x_1} = 3$
$x_2 = 3x_1$
Это означает, что при увеличении массы груза в 3 раза, растяжение пружины также увеличится в 3 раза.

Потенциальная энергия упруго деформированной пружины вычисляется по формуле:
$E_p = \frac{kx^2}{2}$

Начальная потенциальная энергия пружины:
$E_{p1} = \frac{kx_1^2}{2}$

Конечная потенциальная энергия пружины:
$E_{p2} = \frac{kx_2^2}{2}$

Найдем отношение конечной энергии к начальной, подставив $x_2 = 3x_1$:
$\frac{E_{p2}}{E_{p1}} = \frac{\frac{kx_2^2}{2}}{\frac{kx_1^2}{2}} = \frac{x_2^2}{x_1^2} = \frac{(3x_1)^2}{x_1^2} = \frac{9x_1^2}{x_1^2} = 9$

Таким образом, потенциальная энергия пружины увеличится в 9 раз.

Ответ: потенциальная энергия пружины увеличится в 9 раз.