Номер 34.18, страница 126 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Лукашик, Иванова

§ 34. Энергия. Закон сохранения энергии. Глава 4. Работа и мощность. Простые механизмы. Энергия - номер 34.18, страница 126.

34.18 [820] С какой скоростью должен бежать человек массой $80 \, \text{кг}$, чтобы его кинетическая энергия была равна кинетической энергии пули массой $9 \, \text{г}$, летящей со скоростью $600 \, \text{м/с}$? Будет ли при этом импульс человека равен импульсу пули?

Дано:

Масса человека, $m_ч = 80 \text{ кг}$

Масса пули, $m_п = 9 \text{ г}$

Скорость пули, $v_п = 600 \text{ м/с}$

Кинетическая энергия человека равна кинетической энергии пули, $E_{кч} = E_{кп}$

Перевод в систему СИ:

$m_п = 9 \text{ г} = 9 \cdot 10^{-3} \text{ кг} = 0.009 \text{ кг}$

Найти:

1. Скорость человека, $v_ч$

2. Сравнить импульс человека $p_ч$ и импульс пули $p_п$

Решение:

С какой скоростью должен бежать человек массой 80 кг, чтобы его кинетическая энергия была равна кинетической энергии пули массой 9 г, летящей со скоростью 600 м/с?

Кинетическая энергия тела вычисляется по формуле: $E_к = \frac{mv^2}{2}$

Кинетическая энергия человека: $E_{кч} = \frac{m_ч v_ч^2}{2}$.

Кинетическая энергия пули: $E_{кп} = \frac{m_п v_п^2}{2}$.

По условию задачи, кинетические энергии равны: $E_{кч} = E_{кп}$. Приравняем выражения для энергий: $\frac{m_ч v_ч^2}{2} = \frac{m_п v_п^2}{2}$

Сократим множитель $\frac{1}{2}$ в обеих частях уравнения: $m_ч v_ч^2 = m_п v_п^2$

Выразим квадрат скорости человека $v_ч^2$: $v_ч^2 = \frac{m_п v_п^2}{m_ч}$

Теперь найдем саму скорость, извлекая квадратный корень: $v_ч = \sqrt{\frac{m_п v_п^2}{m_ч}} = v_п \sqrt{\frac{m_п}{m_ч}}$

Подставим числовые значения и произведем вычисления: $v_ч^2 = \frac{0.009 \text{ кг} \cdot (600 \text{ м/с})^2}{80 \text{ кг}} = \frac{0.009 \cdot 360000}{80} \frac{\text{м}^2}{\text{с}^2} = \frac{3240}{80} \frac{\text{м}^2}{\text{с}^2} = 40.5 \frac{\text{м}^2}{\text{с}^2}$

$v_ч = \sqrt{40.5} \text{ м/с} \approx 6.36 \text{ м/с}$

Ответ: Человек должен бежать со скоростью приблизительно 6.36 м/с.

Будет ли при этом импульс человека равен импульсу пули?

Импульс (количество движения) тела вычисляется по формуле: $p = mv$

Найдем импульс человека, используя найденную скорость: $p_ч = m_ч v_ч = 80 \text{ кг} \cdot \sqrt{40.5} \text{ м/с} \approx 80 \cdot 6.364 \text{ м/с} \approx 509.1 \text{ кг} \cdot \text{м/с}$

Найдем импульс пули: $p_п = m_п v_п = 0.009 \text{ кг} \cdot 600 \text{ м/с} = 5.4 \text{ кг} \cdot \text{м/с}$

Сравнивая полученные значения $509.1 \text{ кг} \cdot \text{м/с}$ и $5.4 \text{ кг} \cdot \text{м/с}$, видим, что импульс человека не равен импульсу пули ($p_ч \neq p_п$).

Также можно сравнить импульсы, используя связь между кинетической энергией и импульсом: $E_к = \frac{p^2}{2m}$, откуда $p = \sqrt{2mE_к}$.

Поскольку по условию $E_{кч} = E_{кп} = E_к$, то отношение импульсов равно: $\frac{p_ч}{p_п} = \frac{\sqrt{2m_ч E_к}}{\sqrt{2m_п E_к}} = \sqrt{\frac{m_ч}{m_п}}$

Подставим значения масс: $\frac{p_ч}{p_п} = \sqrt{\frac{80 \text{ кг}}{0.009 \text{ кг}}} = \sqrt{\frac{80000}{9}} = \frac{\sqrt{80000}}{3} \approx \frac{282.84}{3} \approx 94.3$

Импульс человека примерно в 94.3 раза больше импульса пули.

Ответ: Нет, импульс человека не будет равен импульсу пули. Импульс человека будет значительно больше.