Номер 34.15, страница 125 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Лукашик, Иванова

§ 34. Энергия. Закон сохранения энергии. Глава 4. Работа и мощность. Простые механизмы. Энергия - номер 34.15, страница 125.

34.15 [817] На сколько процентов изменится потенциальная энергия пружины динамометра, если массу груза, подвешенного к пружине, уменьшить в 2 раза?

Дано:

$m_2 = \frac{m_1}{2}$, где $m_1$ - начальная масса груза, $m_2$ - конечная масса груза.

Найти:

$\frac{\Delta E_p}{E_{p1}} \times 100\%$ - процентное изменение потенциальной энергии пружины.

Решение:

Потенциальная энергия упруго деформированной пружины определяется формулой:

$E_p = \frac{kx^2}{2}$

где $k$ - жесткость пружины, а $x$ - ее удлинение.

Когда груз подвешен к пружине и находится в равновесии, сила упругости пружины $F_{упр}$ уравновешивает силу тяжести $F_{тяж}$:

$F_{упр} = F_{тяж}$

Согласно закону Гука, $F_{упр} = kx$, а сила тяжести $F_{тяж} = mg$. Таким образом:

$kx = mg$

Отсюда можно выразить удлинение пружины $x$:

$x = \frac{mg}{k}$

Теперь подставим это выражение для удлинения в формулу потенциальной энергии:

$E_p = \frac{k}{2} \left(\frac{mg}{k}\right)^2 = \frac{k}{2} \frac{m^2g^2}{k^2} = \frac{m^2g^2}{2k}$

Эта формула показывает, что потенциальная энергия пружины прямо пропорциональна квадрату массы подвешенного груза ($E_p \propto m^2$).

Запишем выражения для потенциальной энергии в начальном и конечном состояниях:

Начальная энергия (с массой $m_1$): $E_{p1} = \frac{m_1^2g^2}{2k}$

Конечная энергия (с массой $m_2 = \frac{m_1}{2}$): $E_{p2} = \frac{m_2^2g^2}{2k} = \frac{(\frac{m_1}{2})^2g^2}{2k} = \frac{\frac{m_1^2}{4}g^2}{2k} = \frac{1}{4} \frac{m_1^2g^2}{2k} = \frac{1}{4}E_{p1}$

Мы видим, что конечная энергия стала в 4 раза меньше начальной.

Найдем процентное изменение энергии. Процентное изменение рассчитывается по формуле:

$\frac{\Delta E_p}{E_{p1}} \times 100\% = \frac{E_{p2} - E_{p1}}{E_{p1}} \times 100\%$

Подставим наши значения:

$\frac{\frac{1}{4}E_{p1} - E_{p1}}{E_{p1}} \times 100\% = \frac{-\frac{3}{4}E_{p1}}{E_{p1}} \times 100\% = -\frac{3}{4} \times 100\% = -75\%$

Знак "минус" означает, что энергия уменьшилась.

Ответ: потенциальная энергия пружины уменьшится на 75%.