Номер 28.42, страница 106 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Лукашик, Иванова

§ 28. Механическая работа. Глава 4. Работа и мощность. Простые механизмы. Энергия - номер 28.42, страница 106.

28.42 [696] Гружёная шахтная клеть массой $10 \text{ т}$ поднимается с ускорением $0,5 \text{ м/с}^2$. Определите работу по подъёму клети за первые $10 \text{ с}$ движения и работу силы тяжести. Объясните разницу значений работ.

Дано:

$m = 10 \text{ т} = 10000 \text{ кг}$
$a = 0,5 \text{ м/с}^2$
$t = 10 \text{ с}$
$v_0 = 0 \text{ м/с}$
$g \approx 9,8 \text{ м/с}^2$

Найти:

$A_{подъёма}$ - ?
$A_{тяж}$ - ?
Объяснить разницу работ.

Решение:

Работа по подъёму клети
Работа по подъёму клети совершается силой тяги (подъёмной силой). Работа вычисляется по формуле $A = F \cdot s \cdot \cos\alpha$. Поскольку сила тяги направлена вверх, как и перемещение, угол $\alpha = 0$, и $\cos\alpha = 1$. Таким образом, $A_{подъёма} = F_{тяги} \cdot h$.
Сначала найдём высоту подъёма $h$ за время $t$. Так как движение равноускоренное и начальная скорость равна нулю, используем формулу пути:
$h = v_0 t + \frac{at^2}{2} = 0 + \frac{0,5 \text{ м/с}^2 \cdot (10 \text{ с})^2}{2} = \frac{0,5 \cdot 100}{2} = 25 \text{ м}$.
Теперь найдём силу тяги $F_{тяги}$. Согласно второму закону Ньютона, равнодействующая сил, приложенных к телу, равна произведению массы тела на его ускорение: $m\vec{a} = \vec{F}_{тяги} + m\vec{g}$.
В проекции на вертикальную ось, направленную вверх: $ma = F_{тяги} - mg$.
Отсюда выразим силу тяги: $F_{тяги} = ma + mg = m(a+g)$.
$F_{тяги} = 10000 \text{ кг} \cdot (0,5 \text{ м/с}^2 + 9,8 \text{ м/с}^2) = 10000 \cdot 10,3 = 103000 \text{ Н}$.
Теперь можем рассчитать работу по подъёму:
$A_{подъёма} = F_{тяги} \cdot h = 103000 \text{ Н} \cdot 25 \text{ м} = 2575000 \text{ Дж} = 2,575 \text{ МДж}$.

Ответ: работа по подъёму клети составляет $2,575 \text{ МДж}$.

Работа силы тяжести
Работа силы тяжести $A_{тяж}$ вычисляется по той же формуле $A = F \cdot s \cdot \cos\alpha$. Сила тяжести $F_{тяж} = mg$ направлена вертикально вниз, а перемещение $h$ — вертикально вверх. Угол между вектором силы и вектором перемещения составляет $\alpha = 180^\circ$, а $\cos(180^\circ) = -1$.
Следовательно, работа силы тяжести будет отрицательной:
$A_{тяж} = F_{тяж} \cdot h \cdot \cos(180^\circ) = -mgh$.
$A_{тяж} = -10000 \text{ кг} \cdot 9,8 \text{ м/с}^2 \cdot 25 \text{ м} = -2450000 \text{ Дж} = -2,45 \text{ МДж}$.

Ответ: работа силы тяжести составляет $-2,45 \text{ МДж}$.

Объяснение разницы значений работ
Работа по подъёму клети ($A_{подъёма} = 2,575 \text{ МДж}$) по модулю больше, чем работа силы тяжести ($|A_{тяж}| = 2,45 \text{ МДж}$). Разница между этими работами объясняется теоремой о кинетической энергии.
Согласно этой теореме, полная работа всех сил, действующих на тело, равна изменению его кинетической энергии: $A_{полная} = \Delta E_k$.
Полная работа равна сумме работы силы тяги и работы силы тяжести: $A_{полная} = A_{подъёма} + A_{тяж}$.
$A_{полная} = 2575000 \text{ Дж} + (-2450000 \text{ Дж}) = 125000 \text{ Дж} = 125 \text{ кДж}$.
Эта работа пошла на увеличение кинетической энергии клети. Проверим это. Начальная кинетическая энергия $E_{k0} = 0$, так как клеть начала движение из состояния покоя. Найдём конечную скорость клети: $v = v_0 + at = 0 + 0,5 \text{ м/с}^2 \cdot 10 \text{ с} = 5 \text{ м/с}$. Конечная кинетическая энергия: $E_k = \frac{mv^2}{2} = \frac{10000 \text{ кг} \cdot (5 \text{ м/с})^2}{2} = \frac{10000 \cdot 25}{2} = 125000 \text{ Дж} = 125 \text{ кДж}$.
Таким образом, $\Delta E_k = E_k - E_{k0} = 125 \text{ кДж}$.
Как видим, $A_{полная} = \Delta E_k$.
Это означает, что работа подъёмной силы ($A_{подъёма}$) расходуется на преодоление силы тяжести (эта часть работы равна $|A_{тяж}|$) и на сообщение клети кинетической энергии (эта часть работы равна $\Delta E_k$). Разница между работой по подъёму и модулем работы силы тяжести как раз и равна изменению кинетической энергии клети.
$A_{подъёма} - |A_{тяж}| = \Delta E_k$.
$2,575 \text{ МДж} - 2,45 \text{ МДж} = 0,125 \text{ МДж} = 125 \text{ кДж}$.

Ответ: разница в значениях работ ($125 \text{ кДж}$) равна изменению кинетической энергии клети, так как подъём происходил с ускорением.