Номер 28.6, страница 102 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Лукашик, Иванова

§ 28. Механическая работа. Глава 4. Работа и мощность. Простые механизмы. Энергия - номер 28.6, страница 102.

28.6 [664] На одном горизонтальном уровне стоят две стопки из трёх одинаковых кирпичей (рис. IV-2, внизу). Кирпичи равномерно поднимают и кладут на доску так, как показано на рисунке IV-2 (вверху). Одинаковую ли при этом совершают работу?

Рис. IV-2

Дано:

Начальное состояние: две стопки по 3 одинаковых кирпича.
Конечное состояние: основание из 3 кирпичей и стопка из 3 кирпичей на нем.
Масса одного кирпича: $m$.
Высота одного кирпича: $h$.
Ускорение свободного падения: $g$.

Найти:

Определить и сравнить работу, совершаемую при указанной перестановке кирпичей.

Решение:

Работа, совершаемая внешней силой при равномерном перемещении тел в поле тяжести, равна изменению их потенциальной энергии. Формула для работы:

$A = \Delta E_p = E_{p2} - E_{p1}$

где $E_{p1}$ — начальная потенциальная энергия системы, а $E_{p2}$ — конечная. Потенциальная энергия кирпича массой $m$ определяется высотой его центра масс $y_c$ над нулевым уровнем ($E_p = mgy_c$). Примем за нулевой уровень ($y=0$) поверхность, на которой изначально стоят кирпичи. Центр масс каждого кирпича находится посередине его высоты $h$.

1. Расчет начальной потенциальной энергии $E_{p1}$.

Начальная конфигурация состоит из двух одинаковых стопок по три кирпича. В каждой стопке высоты центров масс кирпичей над землей равны:

• Нижний кирпич: $y_{c1} = \frac{h}{2}$
• Средний кирпич: $y_{c2} = h + \frac{h}{2} = \frac{3h}{2}$
• Верхний кирпич: $y_{c3} = 2h + \frac{h}{2} = \frac{5h}{2}$

Энергия одной стопки является суммой энергий трех кирпичей:

$E_{p, \text{стопка}} = mg\frac{h}{2} + mg\frac{3h}{2} + mg\frac{5h}{2} = mg(\frac{h+3h+5h}{2}) = \frac{9}{2}mgh$

Поскольку стопок две, общая начальная потенциальная энергия системы равна:

$E_{p1} = 2 \cdot E_{p, \text{стопка}} = 2 \cdot \frac{9}{2}mgh = 9mgh$

2. Расчет конечной потенциальной энергии $E_{p2}$.

Конечная конфигурация состоит из основания (три кирпича, лежащие рядом) и стопки из трех кирпичей на нем.

• Основание: три кирпича лежат на нулевом уровне. Центр масс каждого из них находится на высоте $\frac{h}{2}$. Их общая энергия: $E_{p, \text{основание}} = 3 \cdot mg\frac{h}{2} = \frac{3}{2}mgh$
• Стопка сверху: три кирпича стоят на основании высотой $h$. Высоты их центров масс над нулевым уровнем равны:
  • Нижний кирпич стопки: $y'_{c1} = h + \frac{h}{2} = \frac{3h}{2}$
  • Средний кирпич стопки: $y'_{c2} = h + h + \frac{h}{2} = \frac{5h}{2}$
  • Верхний кирпич стопки: $y'_{c3} = h + 2h + \frac{h}{2} = \frac{7h}{2}$
  Энергия этой стопки: $E_{p, \text{стопка}}' = mg\frac{3h}{2} + mg\frac{5h}{2} + mg\frac{7h}{2} = mg(\frac{3h+5h+7h}{2}) = \frac{15}{2}mgh$

Общая конечная потенциальная энергия системы равна сумме энергий основания и стопки на нем:

$E_{p2} = E_{p, \text{основание}} + E_{p, \text{стопка}}' = \frac{3}{2}mgh + \frac{15}{2}mgh = \frac{18}{2}mgh = 9mgh$

3. Определение совершенной работы.

Работа при перестановке кирпичей равна разности конечной и начальной потенциальных энергий:

$A = E_{p2} - E_{p1} = 9mgh - 9mgh = 0$

Как показывают расчеты, начальная и конечная потенциальные энергии системы одинаковы. Следовательно, полная работа, совершённая при переходе из начального состояния в конечное, равна нулю.

Ответ:

При перестановке кирпичей совершается работа, равная нулю. Это связано с тем, что начальная и конечная потенциальные энергии системы кирпичей одинаковы. Поэтому можно сказать, что работа в данном процессе одинакова в том смысле, что она не совершается (равна нулю).