Номер 28.4, страница 101 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Лукашик, Иванова

§ 28. Механическая работа. Глава 4. Работа и мощность. Простые механизмы. Энергия - номер 28.4, страница 101.

28.4 [666] Бочка заполнена водой. Пользуясь ведром, половину воды из бочки вычерпала девочка. Оставшуюся часть воды — мальчик. Одинаковую ли работу совершили девочка и мальчик? Ответ поясните.

Дано:

$V_д$ — объем воды, вычерпанный девочкой.
$V_м$ — объем воды, вычерпанный мальчиком.
$V$ — общий объем воды в бочке.
$V_д = V_м = V/2$.
Для простоты расчетов примем, что бочка имеет форму цилиндра.
$H$ — высота бочки (и начальный уровень воды).
$S$ — площадь основания бочки.
$\rho$ — плотность воды.
$g$ — ускорение свободного падения.

Найти:

Сравнить работу, совершенную девочкой ($A_д$), и работу, совершенную мальчиком ($A_м$).

Решение:

Работа, совершаемая при поднятии тела, определяется по формуле $A = F \cdot h$, где $F$ — приложенная сила, а $h$ — высота подъема. В данном случае совершается работа против силы тяжести, поэтому $F$ равна силе тяжести воды $F=mg$, а $h$ — это высота, на которую воду необходимо поднять, чтобы вычерпать из бочки.

И девочка, и мальчик вычерпывают одинаковый объем воды ($V/2$), а следовательно, и одинаковую массу: $m_д = m_м = m = \rho \cdot \frac{V}{2} = \frac{\rho S H}{2}$.

Однако высота, на которую им приходится поднимать воду, разная. Работа по подъему жидкости равна произведению силы тяжести этой жидкости на высоту подъема ее центра масс. Будем считать, что воду поднимают до верхнего края бочки (высота $H$).

1. Работа девочки ($A_д$)
Девочка вычерпывает верхнюю половину воды, которая находится в бочке на высоте от $H/2$ до $H$. Центр масс этой части воды находится на высоте $h_{цм.д} = \frac{H + H/2}{2} = \frac{3H}{4}$ от дна бочки. Таким образом, девочке нужно поднять массу $m$ с эффективной высоты $h_{цм.д}$ до высоты $H$. Средняя высота подъема для воды, вычерпанной девочкой, составляет $\Delta h_д = H - h_{цм.д} = H - \frac{3H}{4} = \frac{H}{4}$. Работа, совершенная девочкой: $A_д = m \cdot g \cdot \Delta h_д = (\frac{\rho S H}{2}) \cdot g \cdot (\frac{H}{4}) = \frac{1}{8}\rho g S H^2$.

2. Работа мальчика ($A_м$)
Мальчик вычерпывает воду из нижней половины бочки, то есть от дна (высота $0$) до высоты $H/2$. Центр масс этой части воды находится на высоте $h_{цм.м} = \frac{H/2 + 0}{2} = \frac{H}{4}$ от дна. Мальчику нужно поднять массу $m$ с эффективной высоты $h_{цм.м}$ до высоты $H$. Средняя высота подъема для воды, вычерпанной мальчиком, составляет $\Delta h_м = H - h_{цм.м} = H - \frac{H}{4} = \frac{3H}{4}$. Работа, совершенная мальчиком: $A_м = m \cdot g \cdot \Delta h_м = (\frac{\rho S H}{2}) \cdot g \cdot (\frac{3H}{4}) = \frac{3}{8}\rho g S H^2$.

Сравнивая две работы, получаем: $\frac{A_м}{A_д} = \frac{\frac{3}{8}\rho g S H^2}{\frac{1}{8}\rho g S H^2} = 3$. Таким образом, $A_м = 3A_д$.

Мальчик совершил в три раза большую работу, чем девочка. Это произошло потому, что, хотя они и подняли одинаковую массу воды, мальчику пришлось поднимать свою часть воды с большей глубины, то есть на большую среднюю высоту.

Ответ:

Нет, они совершили неодинаковую работу. Мальчик совершил большую работу, чем девочка. Это связано с тем, что мальчик вычерпывал нижнюю половину воды, и ему приходилось поднимать воду на большую среднюю высоту, чем девочке, которая вычерпывала верхнюю, уже находящуюся выше, половину.