Номер 27.65, страница 100 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Лукашик, Иванова

§ 27. Закон Архимеда. Глава 3. Давление твёрдых тел, жидкостей и газов - номер 27.65, страница 100.

27.65 [659] Масса снаряжения воздушного шара (оболочки, сетки, корзины) составляет 450 кг. Объём шара 1600 $м^3$. Какой подъёмной силой будет обладать этот шар при заполнении его водородом? гелием? светильным газом? (Плотность светильного газа 0,4 $\text{кг}/\text{м}^3$.)

Дано:

Масса снаряжения шара $m_{сн} = 450$ кг
Объём шара $V = 1600$ м³
Плотность светильного газа $ρ_{сг} = 0,4$ кг/м³
Справочные значения:
Плотность воздуха $ρ_{возд} \approx 1,29$ кг/м³
Плотность водорода $ρ_{H_2} \approx 0,09$ кг/м³
Плотность гелия $ρ_{He} \approx 0,18$ кг/м³
Ускорение свободного падения $g \approx 9,8$ Н/кг

Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

Подъёмную силу шара с водородом $F_{п(H_2)}$
Подъёмную силу шара с гелием $F_{п(He)}$
Подъёмную силу шара со светильным газом $F_{п(сг)}$

Решение:

Подъёмная сила воздушного шара $F_п$ — это разность между выталкивающей силой Архимеда $F_A$, действующей на шар, и суммарной силой тяжести $P_{общ}$, действующей на шар (снаряжение и газ внутри).

$F_п = F_A - P_{общ}$

Выталкивающая сила Архимеда равна весу воздуха в объёме шара:

$F_A = ρ_{возд} \cdot g \cdot V$

Суммарная сила тяжести шара равна сумме сил тяжести снаряжения ($P_{сн}$) и газа-наполнителя ($P_{газа}$):

$P_{общ} = P_{сн} + P_{газа} = m_{сн} \cdot g + m_{газа} \cdot g$

Массу газа-наполнителя можно выразить через его плотность $ρ_{газа}$ и объём шара $V$:

$m_{газа} = ρ_{газа} \cdot V$

Тогда суммарная сила тяжести:

$P_{общ} = m_{сн} \cdot g + ρ_{газа} \cdot V \cdot g$

Подставляя выражения для $F_A$ и $P_{общ}$ в исходную формулу, получаем:

$F_п = (ρ_{возд} \cdot g \cdot V) - (m_{сн} \cdot g + ρ_{газа} \cdot V \cdot g)$

$F_п = ρ_{возд} \cdot g \cdot V - m_{сн} \cdot g - ρ_{газа} \cdot V \cdot g$

Вынесем общие множители за скобки для удобства расчётов:

$F_п = g \cdot ((ρ_{возд} - ρ_{газа}) \cdot V - m_{сн})$

Теперь рассчитаем подъёмную силу для каждого из газов.

При заполнении водородом

Используем плотность водорода $ρ_{H_2} = 0,09$ кг/м³.

$F_{п(H_2)} = 9,8 \text{ Н/кг} \cdot ((1,29 \text{ кг/м³} - 0,09 \text{ кг/м³}) \cdot 1600 \text{ м³} - 450 \text{ кг})$

$F_{п(H_2)} = 9,8 \text{ Н/кг} \cdot (1,20 \text{ кг/м³} \cdot 1600 \text{ м³} - 450 \text{ кг})$

$F_{п(H_2)} = 9,8 \text{ Н/кг} \cdot (1920 \text{ кг} - 450 \text{ кг})$

$F_{п(H_2)} = 9,8 \text{ Н/кг} \cdot 1470 \text{ кг} = 14406$ Н

Ответ: подъёмная сила шара, заполненного водородом, составит 14406 Н (≈ 14,4 кН).

При заполнении гелием

Используем плотность гелия $ρ_{He} = 0,18$ кг/м³.

$F_{п(He)} = 9,8 \text{ Н/кг} \cdot ((1,29 \text{ кг/м³} - 0,18 \text{ кг/м³}) \cdot 1600 \text{ м³} - 450 \text{ кг})$

$F_{п(He)} = 9,8 \text{ Н/кг} \cdot (1,11 \text{ кг/м³} \cdot 1600 \text{ м³} - 450 \text{ кг})$

$F_{п(He)} = 9,8 \text{ Н/кг} \cdot (1776 \text{ кг} - 450 \text{ кг})$

$F_{п(He)} = 9,8 \text{ Н/кг} \cdot 1326 \text{ кг} = 12994,8$ Н

Ответ: подъёмная сила шара, заполненного гелием, составит 12994,8 Н (≈ 13,0 кН).

При заполнении светильным газом

Используем плотность светильного газа $ρ_{сг} = 0,4$ кг/м³.

$F_{п(сг)} = 9,8 \text{ Н/кг} \cdot ((1,29 \text{ кг/м³} - 0,4 \text{ кг/м³}) \cdot 1600 \text{ м³} - 450 \text{ кг})$

$F_{п(сг)} = 9,8 \text{ Н/кг} \cdot (0,89 \text{ кг/м³} \cdot 1600 \text{ м³} - 450 \text{ кг})$

$F_{п(сг)} = 9,8 \text{ Н/кг} \cdot (1424 \text{ кг} - 450 \text{ кг})$

$F_{п(сг)} = 9,8 \text{ Н/кг} \cdot 974 \text{ кг} = 9545,2$ Н

Ответ: подъёмная сила шара, заполненного светильным газом, составит 9545,2 Н (≈ 9,5 кН).