Номер 27.61, страница 100 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Лукашик, Иванова

§ 27. Закон Архимеда. Глава 3. Давление твёрдых тел, жидкостей и газов - номер 27.61, страница 100.

27.61 [655] Равны ли массы пятирублёвой монеты и куска пробки, уравновешенные на очень точных и чувствительных весах?

Ответ поясните.

Решение

Нет, массы пятирублёвой монеты и куска пробки не будут равны, если их уравновесить на очень точных весах в воздухе. Масса куска пробки будет больше массы монеты. Это объясняется действием выталкивающей силы Архимеда со стороны воздуха, которой нельзя пренебречь при точных измерениях.

Когда тела взвешивают на рычажных весах, равновесие наступает тогда, когда равны силы (веса), действующие на чаши весов, а не массы тел. На каждое тело, погруженное в воздух, действуют две силы: сила тяжести $F_т = mg$, направленная вниз, и выталкивающая сила Архимеда $F_A = \rho_{возд}gV$, направленная вверх, где $m$ — масса тела, $V$ — его объем, $\rho_{возд}$ — плотность воздуха, а $g$ — ускорение свободного падения.

Обозначим массу и объем монеты как $m_м$ и $V_м$, а их плотность как $\rho_м$. Аналогично для куска пробки: масса $m_п$, объем $V_п$ и плотность $\rho_п$.

Условие равновесия весов означает, что вес монеты в воздухе равен весу пробки в воздухе: $P_м = P_п$ $F_{т,м} - F_{А,м} = F_{т,п} - F_{А,п}$ $m_м g - \rho_{возд}gV_м = m_п g - \rho_{возд}gV_п$

Выразим объемы через массу и плотность ($V = m/\rho$) и подставим в уравнение: $m_м g - \rho_{возд}g \frac{m_м}{\rho_м} = m_п g - \rho_{возд}g \frac{m_п}{\rho_п}$

Сократив на $g$ и сгруппировав слагаемые, получим: $m_м \left(1 - \frac{\rho_{возд}}{\rho_м}\right) = m_п \left(1 - \frac{\rho_{возд}}{\rho_п}\right)$

Плотность металла монеты $\rho_м$ значительно больше плотности пробки $\rho_п$. Обе они намного больше плотности воздуха $\rho_{возд}$: $\rho_м > \rho_п \gg \rho_{возд}$.

Поскольку $\rho_м > \rho_п$, то дробь $\frac{\rho_{возд}}{\rho_м}$ будет меньше дроби $\frac{\rho_{возд}}{\rho_п}$. Следовательно, множитель в левой части уравнения будет больше, чем в правой: $\left(1 - \frac{\rho_{возд}}{\rho_м}\right) > \left(1 - \frac{\rho_{возд}}{\rho_п}\right)$

Для сохранения равенства, масса $m_м$, умножаемая на большее число, должна быть меньше массы $m_п$, умножаемой на меньшее число. Таким образом, $m_м < m_п$.

Ответ: Нет, массы не равны. Масса куска пробки больше массы монеты. Весы показывают равенство сил, действующих на чаши, а не равенство масс. На каждое тело в воздухе действует выталкивающая сила Архимеда. Так как плотность пробки меньше плотности монеты, для уравновешивания весов объем пробки должен быть больше. Это означает, что на пробку действует бо́льшая выталкивающая сила воздуха. Чтобы эта бо́льшая выталкивающая сила была скомпенсирована и весы оставались в равновесии, сила тяжести, действующая на пробку, также должна быть больше. Следовательно, масса пробки больше массы монеты.