Номер 25.41, страница 91 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Лукашик, Иванова

§ 25. Атмосферное давление. Глава 3. Давление твёрдых тел, жидкостей и газов - номер 25.41, страница 91.

25.41* [581*] Согласно показаниям барометра, давление у подножия горы равно 98 642 Па, а на её вершине – 90 317 Па. Используя эти данные, определите высоту горы.¹

Дано:

Давление у подножия горы $p_1 = 98642$ Па

Давление на вершине горы $p_2 = 90317$ Па

Все данные представлены в системе СИ.

Для решения задачи необходимо использовать справочные данные и сделать допущения:

• Ускорение свободного падения $g \approx 9.81$ м/с²
• Универсальная газовая постоянная $R \approx 8.314$ Дж/(моль·К)
• Средняя молярная масса воздуха $M \approx 0.029$ кг/моль
• Предполагается, что температура воздуха $T$ постоянна по всей высоте горы (модель изотермической атмосферы). Примем стандартное значение температуры на уровне моря $t = 15$ °C, что соответствует абсолютной температуре $T = 15 + 273.15 = 288.15$ К.

Найти:

Высоту горы $h$.

Решение:

Зависимость атмосферного давления от высоты в модели изотермической атмосферы описывается барометрической формулой:

$p(h) = p_0 e^{-\frac{Mgh}{RT}}$

где $p(h)$ — давление на высоте $h$, $p_0$ — давление на начальной высоте ($h=0$), $M$ — молярная масса воздуха, $g$ — ускорение свободного падения, $R$ — универсальная газовая постоянная, а $T$ — абсолютная температура воздуха.

В нашем случае за начальную высоту ($h=0$) примем подножие горы, тогда $p_0 = p_1$. Давление на вершине горы на высоте $h$ будет равно $p_2$. Таким образом, формула примет вид:

$p_2 = p_1 e^{-\frac{Mgh}{RT}}$

Чтобы найти высоту горы $h$, необходимо выразить ее из этого уравнения. Для этого разделим обе части на $p_1$:

$\frac{p_2}{p_1} = e^{-\frac{Mgh}{RT}}$

Далее, возьмем натуральный логарифм от обеих частей уравнения:

$\ln\left(\frac{p_2}{p_1}\right) = \ln\left(e^{-\frac{Mgh}{RT}}\right)$

$\ln\left(\frac{p_2}{p_1}\right) = -\frac{Mgh}{RT}$

Используя свойство логарифма $\ln(a/b) = -\ln(b/a)$, можем переписать уравнение:

$-\ln\left(\frac{p_1}{p_2}\right) = -\frac{Mgh}{RT}$

$\ln\left(\frac{p_1}{p_2}\right) = \frac{Mgh}{RT}$

Теперь выразим высоту $h$:

$h = \frac{RT}{Mg} \ln\left(\frac{p_1}{p_2}\right)$

Подставим известные значения в формулу:

$h = \frac{8.314 \frac{\text{Дж}}{\text{моль} \cdot \text{К}} \cdot 288.15 \text{ К}}{0.029 \frac{\text{кг}}{\text{моль}} \cdot 9.81 \frac{\text{м}}{\text{с}^2}} \ln\left(\frac{98642 \text{ Па}}{90317 \text{ Па}}\right)$

Выполним вычисления:

$h \approx \frac{2394.3}{0.28449} \ln(1.09217)$

$h \approx 8416 \cdot 0.08818$

$h \approx 742.1$ м

Округлив результат до целого числа, получаем искомую высоту горы.

Ответ: высота горы приблизительно равна 742 м.