Номер 26.4, страница 91 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Лукашик, Иванова

§ 26. Насосы. Манометры. Глава 3. Давление твёрдых тел, жидкостей и газов - номер 26.4, страница 91.

26.4 [586] При нормальном атмосферном давлении вода за поршнем всасывающего насоса поднимается не более чем на 10,3 м. На какую высоту при всех равных условиях поднимается за поршнем нефть?

Дано:

Высота подъема воды, $h_{воды} = 10,3 \text{ м}$
Плотность воды, $\rho_{воды} \approx 1000 \text{ кг/м}^3$ (табличное значение)
Плотность нефти, $\rho_{нефти} \approx 800 \text{ кг/м}^3$ (среднее табличное значение)

Найти:

$h_{нефти}$ — ?

Решение:

Работа всасывающего насоса основана на том, что атмосферное давление выталкивает жидкость вверх по трубе, в которой поршень создает разрежение. Максимальная высота подъема жидкости достигается в тот момент, когда давление столба этой жидкости становится равным внешнему атмосферному давлению.

Давление столба жидкости определяется по формуле гидростатического давления:
$p = \rho \cdot g \cdot h$
где $\rho$ — плотность жидкости, $g$ — ускорение свободного падения, $h$ — высота столба жидкости.

При нормальном атмосферном давлении $p_{атм}$ для воды справедливо равенство:
$p_{атм} = \rho_{воды} \cdot g \cdot h_{воды}$

Для нефти при тех же условиях (т.е. при том же атмосферном давлении) справедливо аналогичное равенство:
$p_{атм} = \rho_{нефти} \cdot g \cdot h_{нефти}$

Так как левые части обоих уравнений равны, мы можем приравнять их правые части:
$\rho_{воды} \cdot g \cdot h_{воды} = \rho_{нефти} \cdot g \cdot h_{нефти}$

Ускорение свободного падения $g$ присутствует в обеих частях уравнения и может быть сокращено. В результате получаем, что максимальные высоты подъема жидкостей обратно пропорциональны их плотностям:
$\rho_{воды} \cdot h_{воды} = \rho_{нефти} \cdot h_{нефти}$

Из этого соотношения выразим искомую высоту подъема нефти $h_{нефти}$:
$h_{нефти} = h_{воды} \cdot \frac{\rho_{воды}}{\rho_{нефти}}$

Теперь подставим числовые значения. Плотность воды $\rho_{воды}$ примем равной $1000 \text{ кг/м}^3$, а среднюю плотность нефти $\rho_{нефти}$ — $800 \text{ кг/м}^3$.
$h_{нефти} = 10,3 \text{ м} \cdot \frac{1000 \text{ кг/м}^3}{800 \text{ кг/м}^3} = 10,3 \text{ м} \cdot 1,25 = 12,875 \text{ м}$

Поскольку нефть менее плотная, чем вода, она поднимается на большую высоту. Округлим полученное значение до десятых, чтобы соответствовать точности данных в условии задачи.

Ответ: при всех равных условиях нефть поднимется за поршнем на высоту $12,9$ м.