Номер 22.11, страница 76 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Лукашик, Иванова

§ 22. Подвижность частиц жидкостей и газов. Глава 3. Давление твёрдых тел, жидкостей и газов - номер 22.11, страница 76.

22.11 [д. 101] В закрытом сосуде, разделённом перегородкой П (рис. III-20), находятся при одинаковой температуре два разреженных газа. Число молекул газа 2 немного больше, чем число молекул газа 1, а масса его молекул намного больше массы молекул газа 1. Если открыть небольшое отверстие в перегородке, то наблюдается удивительное явление: вначале увеличивается число молекул в правой части сосуда, а затем происходит выравнивание их числа в обеих частях сосуда. Попытайтесь объяснить это явление.

Рис. III-20

Дано:

Температура газов одинакова: $T_1 = T_2 = T$

Число молекул газа 2 немного больше числа молекул газа 1: $N_2 > N_1$

Масса молекул газа 2 намного больше массы молекул газа 1: $m_2 \gg m_1$

Объемы частей сосуда равны (из рисунка): $V_1 = V_2 = V$

Найти:

Объяснить наблюдаемое явление: начальное увеличение числа молекул в правой части сосуда с последующим выравниванием их числа в обеих частях.

Решение:

Наблюдаемое явление объясняется различием в скоростях молекул двух газов.

1. Связь температуры, массы и скорости молекул. Согласно молекулярно-кинетической теории, средняя кинетическая энергия поступательного движения молекул газа пропорциональна его абсолютной температуре: $\overline{E_k} = \frac{3}{2}kT$, где $k$ — постоянная Больцмана.

Поскольку по условию задачи температуры обоих газов одинаковы ($T_1 = T_2$), то и средние кинетические энергии их молекул равны: $\overline{E_{k1}} = \overline{E_{k2}}$.

Средняя кинетическая энергия также выражается через массу молекулы $m$ и средний квадрат скорости $\overline{v^2}$: $\overline{E_k} = \frac{1}{2}m\overline{v^2}$. Следовательно, мы можем записать: $\frac{1}{2}m_1\overline{v_1^2} = \frac{1}{2}m_2\overline{v_2^2}$.

Из этого равенства следует, что $\frac{\overline{v_1^2}}{\overline{v_2^2}} = \frac{m_2}{m_1}$. Так как по условию масса молекул газа 2 намного больше массы молекул газа 1 ($m_2 \gg m_1$), то средняя скорость молекул газа 1 будет намного больше средней скорости молекул газа 2 ($\overline{v_1} \gg \overline{v_2}$). Другими словами, легкие молекулы газа 1 движутся значительно быстрее тяжелых молекул газа 2 при одинаковой температуре.

2. Начальный этап (сразу после открытия отверстия). Когда в перегородке открывают отверстие, начинается процесс взаимной диффузии (эффузии) газов. Число молекул, проходящих через отверстие в единицу времени (поток молекул), пропорционально концентрации молекул $n=N/V$ и их средней скорости $\overline{v}$.

Поток молекул из левой части в правую: $I_{1 \to 2} \propto n_1 \overline{v_1} = \frac{N_1}{V}\overline{v_1}$.
Поток молекул из правой части в левую: $I_{2 \to 1} \propto n_2 \overline{v_2} = \frac{N_2}{V}\overline{v_2}$.

Сравним эти два потока. Отношение потоков равно: $\frac{I_{1 \to 2}}{I_{2 \to 1}} = \frac{N_1 \overline{v_1}}{N_2 \overline{v_2}} = \frac{N_1}{N_2} \sqrt{\frac{m_2}{m_1}}$.

По условию, $N_2$ немного больше $N_1$, значит, отношение $\frac{N_1}{N_2}$ немного меньше единицы. Однако $m_2$ намного больше $m_1$, поэтому множитель $\sqrt{\frac{m_2}{m_1}}$ намного больше единицы. В результате произведение этих двух множителей будет значительно больше единицы: $\frac{I_{1 \to 2}}{I_{2 \to 1}} > 1$, или $I_{1 \to 2} \gg I_{2 \to 1}$.

Это означает, что в начальный момент времени из левой части сосуда в правую переходит значительно больше молекул, чем в обратном направлении. Вследствие этого общее число молекул в правой части сосуда начинает увеличиваться.

3. Конечный этап (состояние равновесия). Описанный процесс не может продолжаться бесконечно. Система стремится к состоянию термодинамического равновесия. В этом состоянии макроскопические параметры системы (давление, температура, концентрация) перестают изменяться со временем.

В состоянии равновесия газы полностью перемешаются, и в каждой части сосуда будут присутствовать молекулы обоих типов. Давление $P$ и температура $T$ по всему объему сосуда станут одинаковыми.

Согласно уравнению состояния идеального газа, давление связано с концентрацией молекул $n$ и температурой $T$ как $P = nkT$. Поскольку в состоянии равновесия давление $P$ и температура $T$ одинаковы в обеих частях сосуда, то и общая концентрация молекул $n$ (сумма концентраций молекул обоих газов) также должна быть одинаковой в обеих частях.

Так как объемы обеих частей сосуда равны ($V_1 = V_2$), равенство концентраций означает и равенство общего числа молекул в каждой части: $N_{левая} = N_{правая}$. Таким образом, со временем число молекул в обеих частях сосуда выравнивается.

Ответ:

Явление объясняется тем, что при одинаковой температуре молекулы более легкого газа 1 имеют значительно большую среднюю скорость, чем молекулы тяжелого газа 2. После открытия отверстия, несмотря на то, что концентрация молекул газа 1 немного ниже, их высокая скорость приводит к тому, что поток молекул из левой части в правую ($I_{1 \to 2}$) оказывается существенно больше встречного потока ($I_{2 \to 1}$). Это вызывает начальное увеличение общего числа молекул в правой части сосуда. По мере перемешивания газов система стремится к состоянию равновесия, которое характеризуется одинаковым давлением и температурой во всем объеме. При равных объемах частей сосуда это приводит к выравниванию общего числа молекул в обеих частях.