Номер 428, страница 59 - гдз по физике 7 класс сборник вопросов и задач Марон, Марон

Давление твёрдых тел, жидкостей и газов. Сообщающиеся сосуды - номер 428, страница 59.

Условие.

428. а) В левое колено сообщающегося сосуда налит керосин, в правое — вода. Высота столба воды равна 4 см. Определите, на сколько уровень керосина в левом колене выше верхнего уровня воды.

б) В сообщающемся сосуде в левом колене находится ртуть, в правом — ртуть и вода. Высота столба воды равна 68 см. Какой высоты столб керосина следует налить в левое колено, чтобы ртуть установилась на одинаковом уровне?

Решение.

а)

Дано:

$h_в = 4 \text{ см}$ (высота столба воды)

$\rho_в = 1000 \text{ кг/м}^3$ (плотность воды)

$\rho_к = 800 \text{ кг/м}^3$ (плотность керосина)

Перевод в СИ:

$h_в = 0.04 \text{ м}$

Найти:

$\Delta h$ - ?

Решение:

В сообщающихся сосудах давление на одном и том же горизонтальном уровне в покоящейся однородной жидкости одинаково. Для двух разных, не смешивающихся жидкостей, находящихся в равновесии, давления, создаваемые их столбами на уровне их раздела, равны. Давление столба жидкости определяется по формуле $p = \rho g h$, где $\rho$ - плотность жидкости, $\text{g}$ - ускорение свободного падения, $\text{h}$ - высота столба жидкости.

Приравняем давление столба воды в правом колене к давлению столба керосина в левом колене:

$p_в = p_к$

$\rho_в g h_в = \rho_к g h_к$

Сократим обе части уравнения на $\text{g}$:

$\rho_в h_в = \rho_к h_к$

Из этого соотношения найдем высоту столба керосина $h_к$:

$h_к = \frac{\rho_в h_в}{\rho_к}$

Подставим известные значения:

$h_к = \frac{1000 \text{ кг/м}^3 \cdot 4 \text{ см}}{800 \text{ кг/м}^3} = \frac{10}{8} \cdot 4 \text{ см} = 1.25 \cdot 4 \text{ см} = 5 \text{ см}$

Чтобы найти, на сколько уровень керосина выше уровня воды, нужно найти разность их высот:

$\Delta h = h_к - h_в = 5 \text{ см} - 4 \text{ см} = 1 \text{ см}$

Ответ: уровень керосина в левом колене выше верхнего уровня воды на 1 см.

б)

Дано:

$h_в = 68 \text{ см}$ (высота столба воды)

$\rho_в = 1000 \text{ кг/м}^3$ (плотность воды)

$\rho_к = 800 \text{ кг/м}^3$ (плотность керосина)

Перевод в СИ:

$h_в = 0.68 \text{ м}$

Найти:

$h_к$ - ?

Решение:

По условию задачи, уровни ртути в обоих коленах сообщающегося сосуда одинаковы. Это означает, что давления, создаваемые столбами жидкостей над ртутью в каждом колене, равны. В правом колене давление создает столб воды, в левом — столб керосина.

Давление столба воды в правом колене: $p_в = \rho_в g h_в$.

Давление столба керосина в левом колене: $p_к = \rho_к g h_к$.

Приравниваем давления:

$p_в = p_к$

$\rho_в g h_в = \rho_к g h_к$

Сократив $\text{g}$, получаем:

$\rho_в h_в = \rho_к h_к$

Выразим искомую высоту столба керосина $h_к$:

$h_к = \frac{\rho_в h_в}{\rho_к}$

Подставим числовые значения:

$h_к = \frac{1000 \text{ кг/м}^3 \cdot 68 \text{ см}}{800 \text{ кг/м}^3} = \frac{10}{8} \cdot 68 \text{ см} = 1.25 \cdot 68 \text{ см} = 85 \text{ см}$

Ответ: следует налить в левое колено столб керосина высотой 85 см.