Номер 1286, страница 141 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Перышкин

8 класс. Световые явления. 47. Источники света. Прямолинейное распространение света - номер 1286, страница 141.

Решение.

Дано

Радиус Солнца $R_С = 110 R_З$

Радиус Земли $R_З = 6370$ км

Расстояние от центра Земли до центра Солнца $L = 23900 R_З$

Перевод в систему СИ:
$R_З = 6370 \text{ км} = 6370 \cdot 10^3 \text{ м} = 6.37 \cdot 10^6 \text{ м}$
$R_С = 110 \cdot 6.37 \cdot 10^6 \text{ м} = 7.007 \cdot 10^8 \text{ м}$
$L = 23900 \cdot 6.37 \cdot 10^6 \text{ м} \approx 1.522 \cdot 10^{11} \text{ м}$

Найти:

Длину конуса тени $\text{l}$.

Решение

Для решения задачи рассмотрим геометрическую модель. В разрезе, проходящем через центры Солнца и Земли, мы имеем два круга и их общие внешние касательные. Эти касательные образуют конус тени за Землей. Пусть $R_С$ — радиус Солнца, $R_З$ — радиус Земли, $\text{L}$ — расстояние между их центрами, а $\text{l}$ — искомая длина конуса тени.

Рассмотрим два подобных прямоугольных треугольника. Первый треугольник образован радиусом Солнца ($R_С$), линией, соединяющей центры Солнца и вершину конуса тени (длиной $L+l$), и касательной. Второй треугольник образован радиусом Земли ($R_З$), линией, соединяющей центр Земли и вершину конуса тени (длиной $\text{l}$), и той же касательной.

Из подобия этих треугольников следует соотношение их соответствующих сторон:

$\frac{R_С}{R_З} = \frac{L + l}{l}$

Теперь выразим из этого уравнения длину конуса тени $\text{l}$:

$R_С \cdot l = R_З \cdot (L + l)$

$R_С \cdot l = R_З \cdot L + R_З \cdot l$

$R_С \cdot l - R_З \cdot l = R_З \cdot L$

$l(R_С - R_З) = R_З \cdot L$

$l = \frac{R_З \cdot L}{R_С - R_З}$

Для удобства вычислений подставим значения, выраженные в радиусах Земли ($R_З$):

$R_С = 110 R_З$

$L = 23900 R_З$

$l = \frac{R_З \cdot (23900 R_З)}{110 R_З - R_З} = \frac{23900 R_З^2}{109 R_З} = \frac{23900}{109} R_З$

Теперь вычислим численное значение:

$l \approx 219.266 R_З$

Подставим значение радиуса Земли $R_З = 6370$ км:

$l \approx 219.266 \cdot 6370 \text{ км} \approx 1396724.4 \text{ км}$

Округлим результат до четырех значащих цифр:

$l \approx 1.397 \cdot 10^6 \text{ км}$

Ответ: $l \approx 1.397 \cdot 10^6$ км.