Страница 18 - гдз по физике 7 класс учебник Пёрышкин, Иванов

1. За счёт чего возникает погрешность при измерении?

Погрешность при измерении — это неизбежное отклонение результата измерения от истинного значения измеряемой величины. Она возникает из-за совокупности нескольких фундаментальных причин, которые можно классифицировать следующим образом.

Инструментальные погрешности связаны с несовершенством самих средств измерения (приборов). К их основным источникам относятся: несовершенство конструкции и изготовления (неточность нанесения штрихов на шкалу, погрешности в механизмах), износ прибора в процессе эксплуатации, а также влияние самого прибора на измеряемый объект (например, термометр, помещенный в среду, изменяет её температуру, тем самым искажая результат).

Методические погрешности обусловлены несовершенством выбранного метода измерения или использованием упрощенных теоретических моделей. Примерами могут служить: использование приближенных формул для расчетов (например, неучет сопротивления воздуха при изучении свободного падения), неправильный выбор методики или неверная установка приборов, приводящая к влиянию неучтенных внешних факторов.

Субъективные (личные) погрешности вносятся человеком (экспериментатором), проводящим измерение. Сюда входят: ошибки считывания показаний (например, ошибка параллакса, когда наблюдатель смотрит на стрелку прибора под углом), психофизиологические особенности человека (например, время реакции при работе с секундомером) и ошибки в расчетах или записях результатов.

Случайные погрешности проявляются как непредсказуемые вариации результатов при многократных измерениях одной и той же величины. Их невозможно полностью устранить, но можно уменьшить путем многократных измерений и статистической обработки. Они вызываются множеством неконтролируемых факторов, таких как флуктуации внешних условий (температуры, давления, вибраций), собственные шумы прибора (тепловой шум в электронике) или нестабильность самого измеряемого объекта.

Также следует упомянуть промахи или грубые погрешности. Это явные ошибки, которые возникают из-за невнимательности (неправильно считано или записано значение) или внезапного сбоя в работе оборудования. Такие результаты значительно отличаются от остальных и обычно исключаются из рассмотрения.

Ответ: Погрешность при измерении возникает за счет совокупности причин: несовершенства измерительных приборов (инструментальные погрешности), недостатков метода измерения (методические погрешности), ошибок, допускаемых экспериментатором (субъективные погрешности), а также влияния множества неконтролируемых и случайных факторов (случайные погрешности).

2. Что называют абсолютной погрешностью измерения?

За счёт чего возникает погрешность при измерении?

Погрешность при измерении — это неизбежное отклонение результата измерения от истинного значения измеряемой величины. Она возникает из-за совокупности нескольких причин, которые можно разделить на несколько основных групп:

• Инструментальные погрешности: связаны с несовершенством самих измерительных приборов. Это может быть неточность шкалы, износ деталей прибора, заводской брак или влияние внешних условий (например, температуры) на сам прибор.

• Методические погрешности: обусловлены несовершенством метода измерения или используемой теоретической модели. Например, использование приближенных формул, которые не учитывают все факторы, влияющие на измеряемую величину.

• Субъективные (личные) погрешности: вносятся человеком, проводящим измерение. К ним относятся ошибки при считывании показаний (например, из-за неправильного угла зрения — параллакса), неверная оценка долей деления шкалы, замедленная или преждевременная реакция при использовании секундомера.

• Случайные погрешности: вызваны множеством неконтролируемых и случайных факторов, таких как флуктуации температуры или напряжения в сети, вибрации, сквозняки. Эти погрешности приводят к разбросу результатов при многократных измерениях.

Таким образом, погрешность является комплексной характеристикой, отражающей ограниченные возможности как измерительных средств, так и самого экспериментатора, а также влияние внешних условий.

Ответ: Погрешность при измерении возникает из-за несовершенства измерительных приборов (инструментальные погрешности), недостатков метода измерения (методические погрешности), ошибок наблюдателя (субъективные погрешности) и влияния неконтролируемых случайных факторов.

2. Что называют абсолютной погрешностью измерения?

Абсолютной погрешностью измерения называют модуль разности между результатом измерения (или средним значением, полученным из серии измерений) и истинным значением измеряемой физической величины. Она показывает, в каких пределах лежит истинное значение величины относительно измеренного, и выражается в тех же единицах, что и сама измеряемая величина.

Если $A_{изм}$ — результат измерения, а $A_0$ — истинное значение величины $A$, то абсолютная погрешность $\Delta A$ определяется формулой:

$\Delta A = |A_{изм} - A_0|$

Поскольку истинное значение $A_0$ практически всегда неизвестно, его заменяют наиболее вероятным значением. При многократных измерениях за такое значение обычно принимают среднее арифметическое $\bar{A}$ всех полученных результатов. Абсолютная погрешность в этом случае характеризует разброс данных вокруг среднего значения. Результат измерения принято записывать в виде $A = \bar{A} \pm \Delta A$, что означает, что истинное значение величины $A$ с высокой вероятностью находится в интервале от $(\bar{A} - \Delta A)$ до $(\bar{A} + \Delta A)$.

Ответ: Абсолютной погрешностью измерения называют модуль разности между измеренным и истинным значением величины. Она показывает максимальное возможное отклонение результата измерения от истинного значения и имеет ту же размерность, что и измеряемая величина.

3. Из чего складывается погрешность измерения?

Полная погрешность любого измерения является результатом совместного действия погрешностей различного происхождения. Принято разделять все погрешности на две основные составляющие:

• Систематическая погрешность: это составляющая погрешности, которая остаётся постоянной или закономерно изменяется при повторных измерениях. Она смещает все результаты в одну сторону от истинного значения (либо все завышает, либо все занижает). Причины: неисправность или неточная калибровка прибора, постоянный неучтённый внешний фактор. Систематические погрешности можно и нужно выявлять и по возможности устранять или вносить на них поправку.

• Случайная погрешность: это составляющая погрешности, которая изменяется случайным образом (как по знаку, так и по величине) при повторных измерениях. Она обусловлена действием множества неконтролируемых факторов. Случайные погрешности приводят к разбросу результатов вокруг некоторого среднего значения. Их нельзя полностью устранить, но их влияние можно уменьшить путём многократного повторения измерений и статистической обработки результатов.

Таким образом, общая погрешность измерения складывается из этих двух компонентов. Для получения достоверного результата необходимо оценивать и учитывать оба вида погрешностей.

Ответ: Погрешность измерения складывается из двух основных компонентов: систематической погрешности (постоянной или закономерно изменяющейся) и случайной погрешности (изменяющейся непредсказуемым образом).

3. Из чего складывается абсолютная погрешность измерения?

Что называют абсолютной погрешностью измерения?

Решение:

Абсолютная погрешность измерения — это физическая величина, которая характеризует отклонение результата измерения от истинного (действительного) значения измеряемой величины. Она показывает, в каком диапазоне вокруг измеренного значения находится истинное значение. Абсолютная погрешность выражается в тех же единицах, что и измеряемая величина.

Формула для определения абсолютной погрешности ($ \Delta A $) выглядит следующим образом:

$ \Delta A = |A_{изм} - A_{ист}| $

где $ A_{изм} $ — значение, полученное в ходе измерения, а $ A_{ист} $ — истинное значение величины.

Так как истинное значение величины в большинстве случаев неизвестно, на практике его заменяют наиболее вероятным значением. При проведении серии измерений за такое значение принимают среднее арифметическое всех результатов $ \langle A \rangle $. Если же проводится однократное измерение, то абсолютную погрешность часто принимают равной инструментальной погрешности, которая для приборов со шкалой обычно равна половине цены наименьшего деления.

Ответ:

Абсолютной погрешностью измерения называют модуль разности между измеренным и истинным значением физической величины. Она определяет границы интервала, в котором с высокой вероятностью находится истинное значение.

3. Из чего складывается абсолютная погрешность измерения?

Решение:

Полная абсолютная погрешность измерения является результатом совокупного действия различных источников ошибок. Она складывается из следующих основных компонентов:

1. Систематические погрешности ($ \Delta A_{сист} $). Это составляющие погрешности, которые при повторных измерениях остаются постоянными или изменяются по определённому закону. Их можно предвидеть и, в идеале, исключить или учесть с помощью поправок. Основные источники систематических погрешностей:

• Инструментальные погрешности: связаны с неточностью изготовления, неправильной калибровкой или износом измерительных приборов. Классический пример — погрешность, равная половине цены деления шкалы.
• Методические погрешности: обусловлены несовершенством выбранного метода измерения или использованием упрощенных формул и теоретических моделей, не полностью описывающих явление.
• Субъективные (личные) погрешности: зависят от индивидуальных особенностей экспериментатора, например, ошибка параллакса при считывании показаний со стрелочного прибора.

2. Случайные погрешности ($ \Delta A_{случ} $). Это составляющие погрешности, которые изменяются непредсказуемым образом от одного измерения к другому. Они вызваны множеством случайных, неконтролируемых факторов (например, колебаниями напряжения в сети, вибрациями, сквозняками, изменением времени реакции наблюдателя). Влияние случайных погрешностей уменьшают путем многократного повторения измерений и последующей статистической обработки результатов (например, нахождения среднего значения).

3. Промахи (грубые ошибки). Это ошибки, которые существенно превышают ожидаемые погрешности. Как правило, они являются следствием неверных действий экспериментатора (неправильная запись показания, ошибка в вычислениях, сбой в работе оборудования). Результаты, содержащие промахи, должны быть выявлены и исключены из дальнейшего анализа.

Полная абсолютная погрешность $ \Delta A $ является комбинацией систематической и случайной погрешностей. В школьной и университетской практике их часто суммируют арифметически: $ \Delta A = \Delta A_{сист} + \Delta A_{случ} $. В более строгих расчетах, предполагая независимость источников ошибок, их складывают квадратично: $ \Delta A = \sqrt{(\Delta A_{сист})^2 + (\Delta A_{случ})^2} $.

Ответ:

Абсолютная погрешность измерения складывается из систематических (инструментальных, методических, субъективных) и случайных погрешностей. Грубые ошибки (промахи) также могут возникать, но их стараются выявить и исключить.

4. Как записать физическую величину с учетом погрешности?

Решение:

Результат измерения любой физической величины должен быть представлен таким образом, чтобы отражать не только ее наиболее вероятное значение, но и точность этого измерения. Для этого используется стандартная форма записи с указанием абсолютной погрешности.

Общий формат записи результата измерения величины $ A $ следующий:

$ A = \langle A \rangle \pm \Delta A $

Здесь $ \langle A \rangle $ — это измеренное значение (или среднее арифметическое значение, если проводилась серия измерений), а $ \Delta A $ — рассчитанная полная абсолютная погрешность. Такая запись означает, что истинное значение измеряемой величины $ A_{ист} $ с большой вероятностью лежит в пределах доверительного интервала:

$ \langle A \rangle - \Delta A \le A_{ист} \le \langle A \rangle + \Delta A $

При записи итогового результата необходимо соблюдать правила округления и согласования знаков:

1. Значение абсолютной погрешности $ \Delta A $ округляется до одной, реже — до двух значащих цифр. Две значащие цифры принято оставлять, если первая из них — 1 или 2 (например, $ \Delta A = 0.15 $), в остальных случаях оставляют одну (например, $ \Delta A = 0.4 $).

2. Измеренное значение $ \langle A \rangle $ округляется так, чтобы его последняя значащая цифра находилась в том же десятичном разряде, что и последняя значащая цифра погрешности. Например, если $ \langle A \rangle = 12.3456 $ и $ \Delta A = 0.02 $, то результат записывается как $ A = 12.35 \pm 0.02 $. Если $ \langle A \rangle = 12.3456 $ и $ \Delta A = 0.3 $, то результат будет $ A = 12.3 \pm 0.3 $.

В конце записи обязательно указываются единицы измерения, обычно в скобках после числовых значений, например: $ m = (5.4 \pm 0.2) \, \text{кг} $.

Ответ:

Результат измерения физической величины записывается в виде $ A = \langle A \rangle \pm \Delta A $, где $ \langle A \rangle $ — это измеренное (или среднее) значение, а $ \Delta A $ — абсолютная погрешность. Значение $ \langle A \rangle $ округляется до того же десятичного разряда, что и погрешность $ \Delta A $, которая, в свою очередь, округляется до одной или двух значащих цифр.

4. Как записать физическую величину с учётом абсолютной погрешности измерения?

... абсолютная погрешность измерения?

Абсолютная погрешность измерения — это величина, характеризующая степень неточности измерения и показывающая максимальное возможное отклонение результата измерения от истинного значения физической величины. Она определяет границы интервала, в котором, предположительно, находится истинное значение. Абсолютная погрешность обозначается символом $Δ$ (дельта), за которым следует обозначение измеряемой величины (например, $Δl$ для длины, $ΔT$ для температуры).

По определению, абсолютная погрешность $Δx$ равна модулю разности между истинным значением величины $x_{ист}$ и полученным в ходе измерения значением $x_{изм}$:

$Δx = |x_{ист} - x_{изм}|$

Поскольку истинное значение величины практически всегда неизвестно, на практике абсолютную погрешность оценивают. В случае однократного прямого измерения с помощью прибора, имеющего шкалу (например, линейки, термометра, амперметра), абсолютная погрешность (её называют приборной погрешностью) чаще всего принимается равной половине цены деления шкалы прибора.

Цена деления ($c$) – это разность значений величины, соответствующих двум соседним отметкам на шкале. Тогда приборная погрешность вычисляется как:

$Δx_{приб} = \frac{c}{2}$

Например, если цена деления линейки равна $1 \text{ мм}$, то абсолютная погрешность измерения этой линейкой составит $Δl = 1 \text{ мм} / 2 = 0.5 \text{ мм}$.

При многократных измерениях для оценки случайной погрешности используют методы математической статистики.

Ответ: Абсолютная погрешность измерения — это модуль разности между истинным и измеренным значением величины, который показывает максимальное отклонение от истинного значения. На практике при однократном измерении её часто принимают равной половине цены деления измерительного прибора.

4. Как записать физическую величину с учётом абсолютной погрешности измерения?

Результат измерения физической величины $A$ с учётом её абсолютной погрешности $ΔA$ записывается в стандартном формате:

$A = A_{изм} \pm ΔA$

Здесь $A_{изм}$ — это значение, полученное в ходе измерения (или среднее арифметическое значение при серии измерений), а $ΔA$ — вычисленная абсолютная погрешность.

Такая запись означает, что истинное значение физической величины $A_{ист}$ с высокой степенью вероятности находится в интервале:

$A_{изм} - ΔA \le A_{ист} \le A_{изм} + ΔA$

При записи результата необходимо соблюдать важное правило: количество знаков после запятой у измеренного значения и у абсолютной погрешности должно быть одинаковым. Абсолютную погрешность обычно округляют до одной или двух значащих цифр, после чего измеренное значение округляют до того же десятичного разряда.

Пример: Измеряется температура с помощью термометра, цена деления которого $c = 1 \text{ °C}$. Абсолютная погрешность измерения равна $ΔT = c/2 = 0.5 \text{ °C}$. Термометр показывает значение $25 \text{ °C}$. Так как погрешность имеет один знак после запятой ($0.5$), результат измерения также должен быть записан с одним знаком после запятой, то есть $25.0 \text{ °C}$. Итоговая запись будет выглядеть так:

$T = (25.0 \pm 0.5) \text{ °C}$

Запись также часто включает указание единиц измерения, как показано в примере.

Ответ: Физическая величина с учётом абсолютной погрешности записывается в виде $A = A_{изм} \pm ΔA$, где $A_{изм}$ — измеренное значение, а $ΔA$ — абсолютная погрешность. Эта запись означает, что истинное значение величины лежит в интервале от $A_{изм} - ΔA$ до $A_{изм} + ΔA$. Число десятичных знаков у $A_{изм}$ и $ΔA$ должно совпадать.

1. В вашем распоряжении имеются линейка длиной 25 см с ценой деления 1 мм и измерительная лента длиной 10 м ценой деления 1 см. Каким из приборов следует воспользоваться, чтобы измерить с большей точностью длину учебника; длину комнаты?

Точность измерения физической величины напрямую зависит от цены деления измерительного прибора. Чем меньше цена деления, тем выше точность измерения, так как меньше абсолютная погрешность, которую обычно принимают равной половине цены деления.

В данной задаче нам даны два прибора: линейка с ценой деления $1 \text{ мм}$ и измерительная лента (рулетка) с ценой деления $1 \text{ см}$. Поскольку $1 \text{ см} = 10 \text{ мм}$, то цена деления линейки в 10 раз меньше, чем у измерительной ленты. Следовательно, линейка является более точным измерительным прибором. Однако выбор инструмента также зависит от размеров измеряемого объекта и удобства проведения измерений.

длину учебника

Длина стандартного учебника обычно составляет 20-30 см. Линейка длиной 25 см хорошо подходит для такого измерения, и его можно провести за одно, максимум два прикладывания. Так как цена деления линейки ($1 \text{ мм}$) меньше цены деления измерительной ленты ($1 \text{ см}$), измерение с помощью линейки даст более точный результат. Погрешность измерения линейкой составит $\pm0.5 \text{ мм}$, а измерительной лентой — $\pm0.5 \text{ см}$ (что равно $\pm5 \text{ мм}$). Очевидно, что результат, полученный с помощью линейки, будет точнее.

Ответ: для измерения длины учебника с большей точностью следует воспользоваться линейкой.

длину комнаты

Длина комнаты значительно превышает длину линейки и обычно составляет несколько метров. Использование линейки длиной 25 см потребует многократного её прикладывания. Например, для измерения комнаты длиной 4 метра линейку придется приложить $400 \text{ см} / 25 \text{ см} = 16$ раз. При каждом новом прикладывании будет возникать дополнительная погрешность из-за неидеального совмещения отметок. Эти погрешности будут накапливаться, и итоговая ошибка измерения может оказаться очень большой, сведя на нет высокую точность самой линейки.

Измерительная лента длиной 10 м позволяет измерить длину комнаты за одно применение. Это исключает накопление ошибок, связанных с многократными измерениями. Несмотря на то что её собственная точность (цена деления $1 \text{ см}$) ниже, чем у линейки, итоговый результат измерения длины комнаты будет более точным и достоверным именно при использовании измерительной ленты, так как погрешность одного измерения с лентой будет меньше суммарной погрешности от многократных измерений линейкой.

Ответ: для измерения длины комнаты с большей точностью следует воспользоваться измерительной лентой.