Страница 19 - гдз по физике 7 класс учебник Пёрышкин, Иванов

2. Как вы узнали, в некоторых случаях измерение проводят несколько раз и вычисляют среднее арифметическое значение результатов. В чём смысл этого? Не получится ли так, что среднее арифметическое будет ещё сильнее отличаться от истинного значения измеряемой величины, чем результаты отдельных измерений?

Смысл проведения нескольких измерений и вычисления среднего арифметического значения заключается в повышении точности результата за счет уменьшения влияния случайных погрешностей. Любой процесс измерения подвержен ошибкам. Случайные погрешности — это непредсказуемые отклонения измеряемой величины, которые могут быть как в большую, так и в меньшую сторону от истинного значения. Они возникают из-за множества факторов: колебаний условий окружающей среды, несовершенства органов чувств экспериментатора, дрожания рук, электронных шумов в приборах и т.д. При усреднении результатов нескольких измерений ($x_1, x_2, \dots, x_n$) по формуле среднего арифметического: $ \langle x \rangle = \frac{x_1 + x_2 + \dots + x_n}{n} $ положительные и отрицательные случайные отклонения частично или полностью компенсируют друг друга. Чем больше количество измерений ($n$), тем лучше происходит эта компенсация, и тем ближе среднее значение $\langle x \rangle$ оказывается к истинному значению измеряемой величины.

Ситуация, в которой среднее арифметическое значение окажется дальше от истинного, чем результат отдельного измерения, теоретически возможна, но крайне маловероятна при грамотно поставленном эксперименте. Такое может произойти, например, если проведено очень мало измерений (два или три), и по чистой случайности все они содержат погрешность одного знака (все результаты получились больше или все меньше истинного значения). Также на среднее может сильно повлиять наличие грубой ошибки (промаха) — одного очевидно неверного результата (например, из-за ошибки в записи). В таких случаях сомнительные результаты обычно исключают из рассмотрения. Однако, согласно закону больших чисел, с увеличением числа измерений вероятность такого неблагоприятного исхода стремится к нулю. Статистически доказано, что среднее арифметическое является наилучшей оценкой истинного значения величины при наличии случайных погрешностей.

Ответ: Смысл многократных измерений и вычисления среднего арифметического состоит в уменьшении влияния случайных погрешностей для получения более точного результата. Случайные отклонения в большую и меньшую сторону при усреднении взаимно компенсируются. Теоретически возможно, что среднее значение будет дальше от истинного, чем отдельное удачное измерение, но это маловероятно, особенно при большом количестве измерений. Статистически среднее арифметическое является лучшей оценкой измеряемой величины.

1. Измерьте линейкой с миллиметровыми делениями длину и ширину какого-либо предмета прямоугольной формы, например книги, пенала. Запишите результаты с учётом абсолютной погрешности измерения.

Для выполнения этого задания необходимо выбрать любой предмет прямоугольной формы, например, книгу, пенал или смартфон, и измерить его длину и ширину с помощью линейки с миллиметровыми делениями. В качестве примера измерим стандартный учебник.

Дано:

Пусть в результате измерений получены следующие значения:

Измеренная длина учебника, $l_{изм} = 265 \text{ мм}$

Измеренная ширина учебника, $w_{изм} = 205 \text{ мм}$

Измерительный прибор — линейка с ценой деления, $ц.д. = 1 \text{ мм}$

Перевод в систему СИ:

$l_{изм} = 265 \text{ мм} = 0.265 \text{ м}$

$w_{изм} = 205 \text{ мм} = 0.205 \text{ м}$

$ц.д. = 1 \text{ мм} = 0.001 \text{ м}$

Найти:

Записать результаты измерений длины $l$ и ширины $w$ учебника с учётом абсолютной погрешности.

Решение:

Абсолютная погрешность прямого однократного измерения $(\Delta)$ при отсутствии иных указаний принимается равной половине цены деления $(\text{ц.д.})$ измерительного прибора. Цена деления нашей линейки составляет $1 \text{ мм}$.

Рассчитаем абсолютную погрешность для наших измерений. Она будет одинаковой как для длины, так и для ширины:

$\Delta l = \Delta w = \frac{ц.д.}{2} = \frac{1 \text{ мм}}{2} = 0.5 \text{ мм}$

Результат измерения физической величины $X$ должен быть представлен в виде $X = X_{изм} \pm \Delta X$, где $X_{изм}$ — измеренное значение, а $\Delta X$ — абсолютная погрешность.

Запишем результат измерения длины учебника с учётом погрешности:

$l = (l_{изм} \pm \Delta l) = (265 \pm 0.5) \text{ мм}$

Запишем результат измерения ширины учебника с учётом погрешности:

$w = (w_{изм} \pm \Delta w) = (205 \pm 0.5) \text{ мм}$

Для удобства эти же результаты можно представить в сантиметрах, разделив значения и погрешность на 10:

$l = (26.5 \pm 0.05) \text{ см}$

$w = (20.5 \pm 0.05) \text{ см}$

Ответ: результаты измерений с учётом абсолютной погрешности: длина учебника $l = (265 \pm 0.5) \text{ мм}$; ширина учебника $w = (205 \pm 0.5) \text{ мм}$.

2. Определите показания термометра на рисунке 11, б. Запишите значение с учётом абсолютной погрешности измерения.

Дано:

Изображение термометра, на котором необходимо определить показания.

Найти:

Значение температуры с учётом абсолютной погрешности измерения $T_{изм}$.

Решение:

Определите показания термометра на рисунке 11, б.

Для начала необходимо определить цену деления (Ц) шкалы термометра. Это значение, соответствующее одному наименьшему делению. Возьмём две ближайшие подписанные отметки на шкале, например, $20°C$ и $30°C$.
Разность значений между этими отметками составляет $30°C - 20°C = 10°C$.
Подсчитаем количество малых делений (промежутков) между этими отметками. Их $10$.
Теперь можно вычислить цену деления:
$Ц = \frac{30°C - 20°C}{10} = \frac{10°C}{10} = 1°C$.
Далее определим показание термометра. Уровень жидкости в термометре находится на 6-м делении выше отметки $20°C$.
Следовательно, показание термометра $T$ равно:
$T = 20°C + 6 \cdot Ц = 20°C + 6 \cdot 1°C = 26°C$.

Запишите значение с учётом абсолютной погрешности измерения.

Абсолютная погрешность измерения $\Delta T$ для стрелочных и шкальных приборов (если не указано иное) равна половине цены деления.
$\Delta T = \frac{Ц}{2} = \frac{1°C}{2} = 0.5°C$.
Результат измерения должен быть представлен в виде $(T \pm \Delta T)$. Согласно правилам записи, количество знаков после запятой у измеренной величины и у её погрешности должно быть одинаковым. Поскольку погрешность $\Delta T = 0.5°C$ имеет один знак после запятой, то и показание термометра следует записать с такой же точностью: $T = 26.0°C$.
Таким образом, итоговый результат измерения температуры: $(26.0 \pm 0.5)°C$.

Ответ: $(26.0 \pm 0.5)°C$.

3. Определите длину окружности монеты: 1) прокатив её по линейке (рис. 17, а); 2) измерив диаметр монеты (рис. 17, б) и умножив его на число π = 3,14. Сравните результаты измерений. В каком случае вы проводили прямое измерение, в каком — косвенное?

Дано:

Показания линейки для измерения диаметра монеты (рис. 17, б):
Начальное положение: $x_1 = 4,0$ см
Конечное положение: $x_2 = 6,5$ см
Приближенное значение числа пи: $\pi \approx 3,14$

Переведем данные в систему СИ:
Диаметр монеты: $d = x_2 - x_1 = 6,5 \text{ см} - 4,0 \text{ см} = 2,5 \text{ см} = 0,025 \text{ м}$.

Найти:

$L_1$ — длину окружности, измеренную прокатыванием.
$L_2$ — длину окружности, вычисленную через диаметр.
Сравнить $L_1$ и $L_2$.
Определить тип каждого измерения (прямое или косвенное).

Решение:

1)

Для определения длины окружности первым способом необходимо прокатить монету на один полный оборот вдоль линейки, как показано на рисунке 17, а. Расстояние, которое пройдет точка на ободе монеты за один оборот, и будет являться длиной окружности $L_1$. Этот эксперимент является прямым измерением, так как искомая величина (длина) измеряется непосредственно с помощью измерительного прибора (линейки). Проведение точного измерения по рисунку невозможно, но мы можем предположить, что результат будет близок к значению, полученному расчетным путем. Предположим, что измерение дало результат $L_1 \approx 7,8 \text{ см}$.

Ответ: Длина окружности, полученная при прокатывании монеты по линейке, $L_1 \approx 7,8 \text{ см}$.

2)

Для определения длины окружности вторым способом сначала измерим её диаметр $d$. Из данных, полученных с рисунка 17, б, диаметр монеты составляет $d = 2,5 \text{ см}$.
Затем, используя формулу длины окружности $L = \pi d$, вычислим искомое значение $L_2$.
$L_2 = 3,14 \times 2,5 \text{ см} = 7,85 \text{ см}$.
Этот метод является косвенным измерением, так как мы измеряем не саму длину окружности, а другую величину (диаметр), и затем вычисляем искомую величину по математической формуле.

Ответ: Длина окружности, вычисленная через измерение диаметра, $L_2 = 7,85 \text{ см}$.

Сравнение результатов и определение типа измерений

Сравним результаты, полученные двумя способами: $L_1 \approx 7,8 \text{ см}$ и $L_2 = 7,85 \text{ см}$. Значения очень близки. Небольшое расхождение в $0,05 \text{ см}$ ($0,5 \text{ мм}$) можно объяснить погрешностями, возникающими при проведении измерений (например, небольшое проскальзывание монеты при прокатывании, неточность при считывании показаний с линейки, а также использование приближенного значения числа $\pi$).

В первом случае проводилось прямое измерение длины.
Во втором случае проводилось косвенное измерение, так как длина окружности была вычислена по результатам прямого измерения диаметра.

Ответ: Результаты измерений ($7,8 \text{ см}$ и $7,85 \text{ см}$) практически совпадают. Способ 1 (прокатывание) является прямым измерением, а способ 2 (через диаметр) — косвенным.

4. Измерьте время между ударами пульса. Для этого средним пальцем правой руки нащупайте у себя пульс на левом запястье. Измерьте время, в течение которого происходит 50 ударов пульса, с помощью секундной стрелки часов. Проведите измерение 5 раз. Одинаковое ли время у вас получилось в этих измерениях? Чему равно среднее время между ударами пульса? Для каких измерений можно использовать собственный пульс? Найдите информацию о том, кто из учёных использовал пульс при измерениях.

Для выполнения этого задания необходимо провести реальные измерения. Поскольку я — большая языковая модель и не могу измерить пульс, я приведу примерный расчёт, основанный на типичных значениях для здорового человека в состоянии покоя. Результаты ваших личных измерений могут отличаться.

Предположим, были проведены 5 измерений времени, за которое было насчитано 50 ударов пульса, и получены следующие результаты:

• Измерение 1 ($t_1$): 41 с
• Измерение 2 ($t_2$): 40 с
• Измерение 3 ($t_3$): 42 с
• Измерение 4 ($t_4$): 39 с
• Измерение 5 ($t_5$): 40 с

Одинаковое ли время у вас получилось в этих измерениях?

Нет, в результате проведённых измерений получилось разное время. Это вполне ожидаемо по нескольким причинам:

• Физиологические причины: частота сердечных сокращений не является абсолютно постоянной величиной. Она может незначительно меняться даже в состоянии покоя под влиянием дыхания, мыслей или небольших движений.
• Погрешность измерения: существует погрешность, связанная с реакцией человека. Сложно идеально синхронно запустить и остановить секундомер в момент первого и последнего удара пульса.
• Погрешность счёта: можно случайно сбиться со счёта ударов.

Именно для уменьшения влияния случайных погрешностей и получения более достоверного результата измерения проводят несколько раз, а затем находят среднее значение.

Ответ: Нет, время в каждом из пяти измерений получилось разным из-за физиологических колебаний пульса и погрешностей измерений.

Чему равно среднее время между ударами пульса?

Дано:

Число ударов пульса, $N = 50$
Результаты 5 измерений времени: $t_1 = 41 \text{ с}, t_2 = 40 \text{ с}, t_3 = 42 \text{ с}, t_4 = 39 \text{ с}, t_5 = 40 \text{ с}$.

Найти:

Среднее время между ударами пульса, $T_{ср}$ — ?

Решение:

1. Сначала найдём среднее время $t_{ср}$, за которое происходит 50 ударов пульса. Для этого сложим результаты всех измерений и разделим на их количество (5).

$t_{ср} = \frac{t_1 + t_2 + t_3 + t_4 + t_5}{5} = \frac{41 \text{ с} + 40 \text{ с} + 42 \text{ с} + 39 \text{ с} + 40 \text{ с}}{5} = \frac{202 \text{ с}}{5} = 40,4 \text{ с}$

2. Теперь, чтобы найти среднее время между двумя последовательными ударами пульса (т.е. период пульса), нужно разделить среднее время $t_{ср}$ на количество ударов $N$.

$T_{ср} = \frac{t_{ср}}{N} = \frac{40,4 \text{ с}}{50} = 0,808 \text{ с}$

Ответ: среднее время между ударами пульса равно $0,808 \text{ с}$.

Для каких измерений можно использовать собственный пульс?

Собственный пульс можно использовать в качестве простого, всегда доступного, но не очень точного прибора для измерения небольших промежутков времени. Это может быть полезно в ситуациях, когда под рукой нет часов или секундомера. Например, с помощью пульса можно:

• Приблизительно оценить длительность какого-либо короткого события (например, время, за которое спортсмен пробегает короткую дистанцию).
• Задавать определённый ритм или темп (в музыке, при выполнении физических упражнений).
• Проводить простейшие физические опыты, где не требуется высокая точность, а важен сам факт периодичности (как в опытах Галилея).

Важно понимать, что из-за нестабильности сердечного ритма и погрешности счёта такие измерения будут весьма приблизительными.

Ответ: собственный пульс можно использовать для приблизительного измерения небольших промежутков времени или для задания ритма, когда нет более точных измерительных приборов.

Найдите информацию о том, кто из учёных использовал пульс при измерениях.

Одним из самых известных учёных, использовавших собственный пульс для научных измерений, был итальянский физик, механик и астроном Галилео Галилей (1564–1642).

Согласно легенде, примерно в 1583 году, будучи студентом в Пизе, он наблюдал за раскачиванием люстры (светильника) в Пизанском соборе. У него не было с собой часов (они ещё не были широко распространены и точны), и для измерения времени, которое требовалось люстре для одного полного колебания, он использовал удары своего пульса. Галилей заметил, что, хотя амплитуда (размах) колебаний со временем уменьшалась, время каждого полного колебания оставалось практически неизменным. Это наблюдение привело его к открытию закона изохронности (постоянства периода) колебаний маятника, что имело огромное значение для развития физики и создания точных маятниковых часов.

Ответ: великий итальянский учёный Галилео Галилей использовал свой пульс для измерения периода колебаний люстры в соборе, что привело его к открытию закона изохронности колебаний маятника.