Задача 32.4, страница 145 - гдз по физике 8 класс учебник Кабардин

Задача 32.4. Стоящий у края бассейна человек видит дно у противоположной стенки бассейна в направлении под углом $ \beta = 80^\circ $ к вертикали (рис. 32.9). Какой кажется ему глубина бассейна $\text{h}$ и чему равна действительная глубина бассейна $\text{H}$, если глаз наблюдателя находится на высоте $ a = 1.65 \text{ м} $ от уровня воды в бассейне, а длина бассейна $ l = 12 \text{ м} $? Показатель преломления на границе воздух—вода $1.33$.

Рис. 32.9

Дано:

Угол наблюдения луча к вертикали: $\beta = 80^\circ$

Высота глаз наблюдателя над уровнем воды: $a = 1,65$ м

Длина бассейна: $l = 12$ м

Показатель преломления воды: $n = 1,33$

Показатель преломления воздуха принимаем равным $n_{воздуха} \approx 1$

Найти:

Кажущаяся глубина: $\text{h}$

Действительная глубина: $\text{H}$

Решение:

Задача решается с использованием законов геометрической оптики: закона прямолинейного распространения света и закона преломления света.

Кажущаяся глубина бассейна h

Кажущаяся глубина $\text{h}$ определяется исходя из того, что наблюдателю кажется, будто луч света распространяется прямолинейно от видимой точки дна до глаза. На рисунке это соответствует продолжению преломленного луча (показано пунктиром).

Рассмотрим большой прямоугольный треугольник, образованный мнимым (кажущимся) путем луча, вертикалью, проходящей через точку наблюдения, и горизонталью, равной длине бассейна. В этом треугольнике:

• Катет, противолежащий углу $\beta$, равен длине бассейна $\text{l}$.
• Катет, прилежащий углу $\beta$, равен сумме высоты глаз над водой $\text{a}$ и кажущейся глубины $\text{h}$.

Из определения тангенса угла в прямоугольном треугольнике следует:

$\tan\beta = \frac{l}{a+h}$

Выразим из этой формулы кажущуюся глубину $\text{h}$:

$a+h = \frac{l}{\tan\beta}$

$h = \frac{l}{\tan\beta} - a$

Подставим числовые значения:

$h = \frac{12 \text{ м}}{\tan80^\circ} - 1,65 \text{ м} \approx \frac{12}{5,671} - 1,65 \approx 2,116 - 1,65 \approx 0,466$ м

Ответ: Кажущаяся глубина бассейна $h \approx 0,47$ м.

Действительная глубина бассейна H

Действительная глубина $\text{H}$ определяется реальным ходом луча света. Луч выходит из точки на дне у дальней стенки, проходит через воду, преломляется на границе вода-воздух и попадает в глаз наблюдателя.

Пусть $\alpha$ — угол падения луча на границу раздела вода-воздух (угол между лучом в воде и вертикалью). Угол $\beta$ — это угол преломления.

Согласно закону преломления света (закону Снеллиуса):

$n \cdot \sin\alpha = n_{воздуха} \cdot \sin\beta$

Так как $n_{воздуха} \approx 1$, получаем:

$n \sin\alpha = \sin\beta$

Отсюда найдем синус угла $\alpha$:

$\sin\alpha = \frac{\sin\beta}{n} = \frac{\sin80^\circ}{1,33} \approx \frac{0,9848}{1,33} \approx 0,74045$

Длина бассейна $\text{l}$ состоит из двух отрезков: горизонтальной проекции пути луча в воде ($x_1$) и горизонтальной проекции пути луча в воздухе ($x_2$).

$l = x_1 + x_2$

Из геометрии рисунка видно:

$x_1 = H \cdot \tan\alpha$

$x_2 = a \cdot \tan\beta$

Следовательно:

$l = H \cdot \tan\alpha + a \cdot \tan\beta$

Выразим отсюда действительную глубину $\text{H}$:

$H \cdot \tan\alpha = l - a \cdot \tan\beta$

$H = \frac{l - a \cdot \tan\beta}{\tan\alpha}$

Нам нужно найти $\tan\alpha$. Мы знаем $\sin\alpha$. Используем основное тригонометрическое тождество $\cos\alpha = \sqrt{1 - \sin^2\alpha}$ (угол острый, поэтому косинус положительный):

$\cos\alpha = \sqrt{1 - (0,74045)^2} \approx \sqrt{1 - 0,54827} \approx \sqrt{0,45173} \approx 0,6721$

Теперь найдем тангенс:

$\tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} \approx \frac{0,74045}{0,6721} \approx 1,1017$

Подставим все значения в формулу для $\text{H}$:

$H = \frac{12 \text{ м} - 1,65 \text{ м} \cdot \tan80^\circ}{1,1017} \approx \frac{12 - 1,65 \cdot 5,671}{1,1017} \approx \frac{12 - 9,357}{1,1017} = \frac{2,643}{1,1017} \approx 2,399$ м

Ответ: Действительная глубина бассейна $H \approx 2,4$ м.