Страница 73, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник часть 1, 2 Абылкасымова, Кучер

26. Укажите геометрическую иллюстрацию решений системы

$\begin{cases} x^2 + y^2 < 4, \\ x^2 - y^2 \ge 0: \end{cases}$

A) B) C) D)

Для решения задачи необходимо проанализировать каждое неравенство системы и найти пересечение их решений на координатной плоскости.

Анализ первого неравенства: $x^2 + y^2 < 4$

Уравнение $x^2 + y^2 = 4$ описывает окружность с центром в начале координат $(0, 0)$ и радиусом $r = \sqrt{4} = 2$. Неравенство $x^2 + y^2 < 4$ задает множество всех точек, расположенных внутри этой окружности. Так как неравенство строгое, сама окружность не входит в область решений. На всех предложенных рисунках изображена область внутри круга радиусом 2.

Анализ второго неравенства: $x^2 - y^2 > 0$

Сначала рассмотрим граничное условие $x^2 - y^2 = 0$. Это уравнение можно разложить на множители по формуле разности квадратов: $(x - y)(x + y) = 0$. Это равенство выполняется, если $x - y = 0$ или $x + y = 0$. Таким образом, мы получаем две прямые: $y = x$ и $y = -x$. Эти прямые являются биссектрисами координатных углов и делят плоскость на четыре области.

Теперь вернемся к неравенству $x^2 - y^2 > 0$. Его можно переписать как $x^2 > y^2$, что эквивалентно $|x| > |y|$. Это означает, что для любой точки $(x, y)$ из области решений ее абсцисса по модулю должна быть больше ее ординаты по модулю.

Чтобы определить, какие из четырех областей удовлетворяют этому условию, можно взять по одной пробной точке из каждой. Например, для точки $(1, 0)$ из правой области получаем $1^2 - 0^2 = 1 > 0$, что верно. Для точки $(0, 1)$ из верхней области получаем $0^2 - 1^2 = -1 < 0$, что неверно. Для точки $(-1, 0)$ из левой области получаем $(-1)^2 - 0^2 = 1 > 0$, что верно. Для точки $(0, -1)$ из нижней области получаем $0^2 - (-1)^2 = -1 < 0$, что неверно.

Следовательно, неравенство $x^2 - y^2 > 0$ описывает две области, расположенные слева и справа от начала координат, заключенные между прямыми $y = x$ и $y = -x$.

Геометрическая иллюстрация решения системы

Решением системы является пересечение (общая часть) множеств решений обоих неравенств. Это означает, что нам нужно найти точки, которые одновременно находятся внутри круга радиусом 2 и в областях, где $|x| > |y|$.

Сравнивая это описание с предложенными вариантами:

• Рисунок А) показывает всю внутренность круга, что неверно.

• Рисунок B) показывает верхний и нижний сектора круга, где выполняется $|y| > |x|$ ($x^2 - y^2 < 0$), что неверно.

• Рисунок C) показывает левый и правый сектора круга, где выполняется $|x| > |y|$ ($x^2 - y^2 > 0$), что соответствует решению системы.

• Рисунок D) показывает только один сектор, что неверно.

Таким образом, правильная геометрическая иллюстрация решений системы показана на рисунке C.

Ответ: C

27. Используя рисунки, изобразите множество решений системы неравенств на координатной плоскости $\begin{cases}x^2 + y^2 \le 9, \\2x^2 + 3y^2 \ge 0:\end{cases}$

A) B) C) D)

Дано:

Система неравенств:

$$ \begin{cases} x^2 + y^2 \le 9 \\ 2x^2 + 3y^2 > 0 \end{cases} $$

Найти:

Изобразить множество решений системы неравенств на координатной плоскости и выбрать соответствующий рисунок.

Решение:

Рассмотрим каждое неравенство системы по отдельности.

Первое неравенство $x^2 + y^2 \le 9$ задает множество точек, расположенных внутри и на границе окружности с центром в начале координат (0, 0) и радиусом $R = \sqrt{9} = 3$. Это замкнутый круг.

Второе неравенство $2x^2 + 3y^2 > 0$. Поскольку $x^2 \ge 0$ и $y^2 \ge 0$ для любых действительных $x$ и $y$, то сумма $2x^2 + 3y^2$ всегда неотрицательна. Равенство $2x^2 + 3y^2 = 0$ достигается только при условии, что $x=0$ и $y=0$ одновременно. Таким образом, неравенство $2x^2 + 3y^2 > 0$ выполняется для всех точек $(x, y)$ на плоскости, кроме начала координат (0, 0).

Решением системы является пересечение множеств решений обоих неравенств. То есть, это все точки круга $x^2 + y^2 \le 9$ за исключением точки (0, 0). Получаем круг радиуса 3 с "выколотым" центром.

При графическом изображении такой фигуры на плоскости, удаление одной точки (центра круга), которая имеет нулевую площадь, визуально не отображается. Область будет выглядеть как сплошной заштрихованный круг. Из предложенных вариантов такому описанию соответствует рисунок D, на котором заштрихован весь круг.

Ответ: D.

26.10. Преобразуйте выражение:

1) $4\sin^2 1^\circ \cos^2 1^\circ - \cos^2 2^\circ;$

2) $16\sin^2 3^\circ \cos^2 3^\circ \cos^2 6^\circ;$

3) $(\sin10^\circ + \sin 80^\circ) (\cos 80^\circ - \cos10^\circ);$

4) $(\cos5^\circ + \cos95^\circ) (\sin85^\circ + \sin175^\circ);$

5) $\frac{\cos36^\circ + \sin^2 18^\circ}{\cos^2 18^\circ} - 1;$

6) $\frac{\cos56^\circ}{\cos28^\circ + \sin28^\circ} + \sin28^\circ.$

1) $4\sin^2 1^\circ\cos^2 1^\circ - \cos^2 2^\circ$

Сначала преобразуем первое слагаемое. Для этого воспользуемся формулой синуса двойного угла $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$.

$4\sin^2 1^\circ\cos^2 1^\circ = (2\sin 1^\circ\cos 1^\circ)^2$

Применяя формулу, получаем:

$(2\sin 1^\circ\cos 1^\circ)^2 = (\sin(2 \cdot 1^\circ))^2 = \sin^2 2^\circ$

Теперь исходное выражение принимает вид:

$\sin^2 2^\circ - \cos^2 2^\circ$

Вынесем знак минус за скобки, чтобы получить формулу косинуса двойного угла:

$-(\cos^2 2^\circ - \sin^2 2^\circ)$

Используем формулу косинуса двойного угла $\cos(2\alpha) = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha$.

$-(\cos(2 \cdot 2^\circ)) = -\cos 4^\circ$

Ответ: $-\cos 4^\circ$.

2) $16\sin^2 3^\circ\cos^2 3^\circ\cos^2 6^\circ$

Перегруппируем множители и используем формулу синуса двойного угла $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$.

$16\sin^2 3^\circ\cos^2 3^\circ\cos^2 6^\circ = 4 \cdot (4\sin^2 3^\circ\cos^2 3^\circ) \cdot \cos^2 6^\circ = 4 \cdot (2\sin 3^\circ\cos 3^\circ)^2 \cdot \cos^2 6^\circ$

Применяем формулу к выражению в скобках:

$4 \cdot (\sin(2 \cdot 3^\circ))^2 \cdot \cos^2 6^\circ = 4\sin^2 6^\circ\cos^2 6^\circ$

Снова перегруппируем и применим ту же формулу:

$(2\sin 6^\circ\cos 6^\circ)^2 = (\sin(2 \cdot 6^\circ))^2 = (\sin 12^\circ)^2 = \sin^2 12^\circ$

Ответ: $\sin^2 12^\circ$.

3) $(\sin 10^\circ + \sin 80^\circ)(\cos 80^\circ - \cos 10^\circ)$

Воспользуемся формулами приведения, чтобы упростить выражение. Заметим, что $80^\circ = 90^\circ - 10^\circ$.

$\sin 80^\circ = \sin(90^\circ - 10^\circ) = \cos 10^\circ$

$\cos 80^\circ = \cos(90^\circ - 10^\circ) = \sin 10^\circ$

Подставим эти значения в исходное выражение:

$(\sin 10^\circ + \cos 10^\circ)(\sin 10^\circ - \cos 10^\circ)$

Это выражение является разностью квадратов $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$.

$\sin^2 10^\circ - \cos^2 10^\circ$

Вынесем минус за скобки и применим формулу косинуса двойного угла $\cos(2\alpha) = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha$.

$-(\cos^2 10^\circ - \sin^2 10^\circ) = -\cos(2 \cdot 10^\circ) = -\cos 20^\circ$

Ответ: $-\cos 20^\circ$.

4) $(\cos 5^\circ + \cos 95^\circ)(\sin 85^\circ + \sin 175^\circ)$

Используем формулы приведения для преобразования аргументов.

$\cos 95^\circ = \cos(90^\circ + 5^\circ) = -\sin 5^\circ$

$\sin 85^\circ = \sin(90^\circ - 5^\circ) = \cos 5^\circ$

$\sin 175^\circ = \sin(180^\circ - 5^\circ) = \sin 5^\circ$

Подставляем преобразованные функции в выражение:

$(\cos 5^\circ - \sin 5^\circ)(\cos 5^\circ + \sin 5^\circ)$

Используем формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$.

$\cos^2 5^\circ - \sin^2 5^\circ$

Это формула косинуса двойного угла $\cos(2\alpha) = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha$.

$\cos(2 \cdot 5^\circ) = \cos 10^\circ$

Ответ: $\cos 10^\circ$.

5) $\frac{\cos 36^\circ + \sin^2 18^\circ}{\cos^2 18^\circ} - 1$

Воспользуемся формулой косинуса двойного угла в виде $\cos(2\alpha) = 1 - 2\sin^2\alpha$.

$\cos 36^\circ = \cos(2 \cdot 18^\circ) = 1 - 2\sin^2 18^\circ$

Подставим это выражение в числитель дроби:

$\frac{(1 - 2\sin^2 18^\circ) + \sin^2 18^\circ}{\cos^2 18^\circ} - 1 = \frac{1 - \sin^2 18^\circ}{\cos^2 18^\circ} - 1$

Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$, из которого следует, что $1 - \sin^2\alpha = \cos^2\alpha$, получаем:

$\frac{\cos^2 18^\circ}{\cos^2 18^\circ} - 1 = 1 - 1 = 0$

Ответ: $0$.

6) $\frac{\cos 56^\circ}{\cos 28^\circ + \sin 28^\circ} + \sin 28^\circ$

Приведем выражение к общему знаменателю:

$\frac{\cos 56^\circ + \sin 28^\circ(\cos 28^\circ + \sin 28^\circ)}{\cos 28^\circ + \sin 28^\circ}$

Раскроем скобки в числителе:

$\frac{\cos 56^\circ + \sin 28^\circ\cos 28^\circ + \sin^2 28^\circ}{\cos 28^\circ + \sin 28^\circ}$

Используем формулу косинуса двойного угла $\cos(2\alpha) = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha$ для $\cos 56^\circ$.

$\cos 56^\circ = \cos(2 \cdot 28^\circ) = \cos^2 28^\circ - \sin^2 28^\circ$

Подставим это в числитель:

$\frac{(\cos^2 28^\circ - \sin^2 28^\circ) + \sin 28^\circ\cos 28^\circ + \sin^2 28^\circ}{\cos 28^\circ + \sin 28^\circ}$

Упростим числитель, сократив $-\sin^2 28^\circ$ и $+\sin^2 28^\circ$:

$\frac{\cos^2 28^\circ + \sin 28^\circ\cos 28^\circ}{\cos 28^\circ + \sin 28^\circ}$

Вынесем в числителе общий множитель $\cos 28^\circ$:

$\frac{\cos 28^\circ(\cos 28^\circ + \sin 28^\circ)}{\cos 28^\circ + \sin 28^\circ}$

Сократим дробь на $(\cos 28^\circ + \sin 28^\circ)$:

$\cos 28^\circ$

Ответ: $\cos 28^\circ$.

26.11. Найдите значения: $ \sin \frac{\alpha}{2} $, $ \cos \frac{\alpha}{2} $, $ \operatorname{ctg} \frac{\alpha}{2} $ и $ \operatorname{tg} \frac{\alpha}{2} $, если $ \cos \alpha = \frac{1}{3} $ и

$ 0 < \alpha < \frac{\pi}{2}. $

Для решения задачи нам понадобятся формулы половинного угла. По условию, нам дано, что $\cos\alpha = \frac{1}{3}$ и $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$.

Сначала определим, в какой четверти находится угол $\frac{\alpha}{2}$. Разделив неравенство $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$ на 2, мы получим $0 < \frac{\alpha}{2} < \frac{\pi}{4}$. Это означает, что угол $\frac{\alpha}{2}$ находится в первой четверти. В первой четверти все тригонометрические функции (синус, косинус, тангенс и котангенс) имеют положительные значения. Это важно при извлечении квадратного корня.

$\sin\frac{\alpha}{2}$
Используем формулу синуса половинного угла: $\sin^2\frac{\alpha}{2} = \frac{1 - \cos\alpha}{2}$.
Подставим известное значение $\cos\alpha = \frac{1}{3}$:
$\sin^2\frac{\alpha}{2} = \frac{1 - \frac{1}{3}}{2} = \frac{\frac{2}{3}}{2} = \frac{2}{3 \cdot 2} = \frac{1}{3}$.
Поскольку угол $\frac{\alpha}{2}$ находится в первой четверти, его синус положителен.
$\sin\frac{\alpha}{2} = \sqrt{\frac{1}{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{3}$

$\cos\frac{\alpha}{2}$
Используем формулу косинуса половинного угла: $\cos^2\frac{\alpha}{2} = \frac{1 + \cos\alpha}{2}$.
Подставим известное значение $\cos\alpha = \frac{1}{3}$:
$\cos^2\frac{\alpha}{2} = \frac{1 + \frac{1}{3}}{2} = \frac{\frac{4}{3}}{2} = \frac{4}{3 \cdot 2} = \frac{2}{3}$.
Поскольку угол $\frac{\alpha}{2}$ находится в первой четверти, его косинус положителен.
$\cos\frac{\alpha}{2} = \sqrt{\frac{2}{3}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6}}{3}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{6}}{3}$

$\text{ctg}\frac{\alpha}{2}$
Котангенс можно найти как отношение косинуса к синусу: $\text{ctg}\frac{\alpha}{2} = \frac{\cos\frac{\alpha}{2}}{\sin\frac{\alpha}{2}}$.
Подставим найденные значения $\sin\frac{\alpha}{2}$ и $\cos\frac{\alpha}{2}$:
$\text{ctg}\frac{\alpha}{2} = \frac{\frac{\sqrt{6}}{3}}{\frac{\sqrt{3}}{3}} = \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{3}} = \sqrt{\frac{6}{3}} = \sqrt{2}$.
Ответ: $\sqrt{2}$

$\text{tg}\frac{\alpha}{2}$
Тангенс можно найти как отношение синуса к косинусу: $\text{tg}\frac{\alpha}{2} = \frac{\sin\frac{\alpha}{2}}{\cos\frac{\alpha}{2}}$.
Подставим найденные значения:
$\text{tg}\frac{\alpha}{2} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{3}}{\frac{\sqrt{6}}{3}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{6}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Также тангенс является обратной функцией к котангенсу: $\text{tg}\frac{\alpha}{2} = \frac{1}{\text{ctg}\frac{\alpha}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}$

26.12. Найдите значения: $ \sin \frac{\alpha}{2} $, $ \cos \frac{\alpha}{2} $, $ \operatorname{tg} \frac{\alpha}{2} $, если $ \sin \alpha = \frac{14}{50} $ и $ \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi $.

По условию задачи дано, что $sin\alpha = \frac{14}{50} = \frac{7}{25}$ и $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$.
Неравенство $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$ означает, что угол $\alpha$ находится во второй координатной четверти.
Чтобы определить, в какой четверти находится угол $\frac{\alpha}{2}$, разделим неравенство на 2: $\frac{\pi/2}{2} < \frac{\alpha}{2} < \frac{\pi}{2}$, что дает $\frac{\pi}{4} < \frac{\alpha}{2} < \frac{\pi}{2}$. Это соответствует первой координатной четверти.
В первой четверти значения синуса, косинуса и тангенса положительны.
Для вычисления значений тригонометрических функций половинного угла нам понадобится значение $cos\alpha$. Найдем его из основного тригонометрического тождества $sin^2\alpha + cos^2\alpha = 1$.
$cos^2\alpha = 1 - sin^2\alpha = 1 - (\frac{7}{25})^2 = 1 - \frac{49}{625} = \frac{625 - 49}{625} = \frac{576}{625}$.
$cos\alpha = \pm\sqrt{\frac{576}{625}} = \pm\frac{24}{25}$.
Так как угол $\alpha$ находится во второй четверти, его косинус отрицателен, поэтому $cos\alpha = -\frac{24}{25}$.
Теперь мы можем найти требуемые значения.

$sin\frac{\alpha}{2}$
Используем формулу понижения степени для синуса (формулу половинного угла):
$sin^2\frac{\alpha}{2} = \frac{1 - cos\alpha}{2}$.
Подставим найденное значение $cos\alpha$:
$sin^2\frac{\alpha}{2} = \frac{1 - (-\frac{24}{25})}{2} = \frac{1 + \frac{24}{25}}{2} = \frac{\frac{25+24}{25}}{2} = \frac{\frac{49}{25}}{2} = \frac{49}{50}$.
$sin\frac{\alpha}{2} = \pm\sqrt{\frac{49}{50}} = \pm\frac{7}{\sqrt{50}} = \pm\frac{7}{5\sqrt{2}} = \pm\frac{7\sqrt{2}}{10}$.
Поскольку угол $\frac{\alpha}{2}$ находится в первой четверти, его синус положителен.
Ответ: $sin\frac{\alpha}{2} = \frac{7\sqrt{2}}{10}$.

$cos\frac{\alpha}{2}$
Используем формулу понижения степени для косинуса (формулу половинного угла):
$cos^2\frac{\alpha}{2} = \frac{1 + cos\alpha}{2}$.
Подставим значение $cos\alpha$:
$cos^2\frac{\alpha}{2} = \frac{1 + (-\frac{24}{25})}{2} = \frac{1 - \frac{24}{25}}{2} = \frac{\frac{25-24}{25}}{2} = \frac{\frac{1}{25}}{2} = \frac{1}{50}$.
$cos\frac{\alpha}{2} = \pm\sqrt{\frac{1}{50}} = \pm\frac{1}{\sqrt{50}} = \pm\frac{1}{5\sqrt{2}} = \pm\frac{\sqrt{2}}{10}$.
Поскольку угол $\frac{\alpha}{2}$ находится в первой четверти, его косинус положителен.
Ответ: $cos\frac{\alpha}{2} = \frac{\sqrt{2}}{10}$.

$tg\frac{\alpha}{2}$
Тангенс можно найти как отношение синуса к косинусу:
$tg\frac{\alpha}{2} = \frac{sin\frac{\alpha}{2}}{cos\frac{\alpha}{2}} = \frac{\frac{7\sqrt{2}}{10}}{\frac{\sqrt{2}}{10}} = 7$.
Также можно использовать одну из формул тангенса половинного угла:
$tg\frac{\alpha}{2} = \frac{1 - cos\alpha}{sin\alpha} = \frac{1 - (-\frac{24}{25})}{\frac{7}{25}} = \frac{1 + \frac{24}{25}}{\frac{7}{25}} = \frac{\frac{49}{25}}{\frac{7}{25}} = \frac{49}{7} = 7$.
Ответ: $tg\frac{\alpha}{2} = 7$.

26.13. Используя формулы половинного угла найдите значения: $sin22^\circ30^\prime$; $cos22^\circ30^\prime$ и $tg22^\circ30^\prime$.

Для решения данной задачи необходимо использовать формулы половинного угла. Угол $22^\circ30'$ представляет собой половину угла $45^\circ$, так как $22^\circ30' = 22.5^\circ = \frac{45^\circ}{2}$.

Основные тригонометрические формулы половинного угла, которые нам понадобятся:

1. $\sin\frac{\alpha}{2} = \pm\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{2}}$

2. $\cos\frac{\alpha}{2} = \pm\sqrt{\frac{1+\cos\alpha}{2}}$

3. $\text{tg}\frac{\alpha}{2} = \frac{1-\cos\alpha}{\sin\alpha}$

В нашем случае $\alpha = 45^\circ$. Мы знаем, что $\cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Угол $22^\circ30'$ находится в первой координатной четверти, поэтому значения его синуса, косинуса и тангенса будут положительными. Следовательно, в формулах для синуса и косинуса мы выбираем знак «+».

sin22°30'

Используем формулу синуса половинного угла:

$\sin(22^\circ30') = \sin\left(\frac{45^\circ}{2}\right) = \sqrt{\frac{1-\cos(45^\circ)}{2}}$

Подставляем значение $\cos(45^\circ)$:

$\sin(22^\circ30') = \sqrt{\frac{1-\frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} = \sqrt{\frac{\frac{2-\sqrt{2}}{2}}{2}} = \sqrt{\frac{2-\sqrt{2}}{4}} = \frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}$

Ответ: $\sin(22^\circ30') = \frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}$.

cos22°30'

Используем формулу косинуса половинного угла:

$\cos(22^\circ30') = \cos\left(\frac{45^\circ}{2}\right) = \sqrt{\frac{1+\cos(45^\circ)}{2}}$

Подставляем значение $\cos(45^\circ)$:

$\cos(22^\circ30') = \sqrt{\frac{1+\frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} = \sqrt{\frac{\frac{2+\sqrt{2}}{2}}{2}} = \sqrt{\frac{2+\sqrt{2}}{4}} = \frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}$

Ответ: $\cos(22^\circ30') = \frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}$.

tg22°30'

Используем формулу тангенса половинного угла. Эта формула не содержит квадратных корней и знаков $\pm$, что упрощает вычисления:

$\text{tg}(22^\circ30') = \text{tg}\left(\frac{45^\circ}{2}\right) = \frac{1-\cos(45^\circ)}{\sin(45^\circ)}$

Подставляем значения $\cos(45^\circ)$ и $\sin(45^\circ)$:

$\text{tg}(22^\circ30') = \frac{1-\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{\frac{2-\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{2-\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{2}$:

$\frac{(2-\sqrt{2}) \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{2}-2}{2} = \frac{2(\sqrt{2}-1)}{2} = \sqrt{2}-1$

Ответ: $\text{tg}(22^\circ30') = \sqrt{2}-1$.

26.14. Докажите тождество:

1) $1 + \sin\alpha = 2\cos^2\left(\frac{\pi}{4} - \frac{\alpha}{2}\right);$

2) $1 - \sin\alpha = 2\sin^2\left(\frac{\pi}{4} - \frac{\alpha}{2}\right).$

1) Докажем тождество $1 + \sin\alpha = 2\cos^2\left(\frac{\pi}{4} - \frac{\alpha}{2}\right)$.

Для доказательства преобразуем левую часть равенства. Сначала воспользуемся формулой приведения, чтобы выразить синус через косинус: $\sin\alpha = \cos\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right)$.

Подставим это выражение в левую часть тождества:

$1 + \sin\alpha = 1 + \cos\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right)$.

Далее, используем формулу понижения степени для косинуса, которая является следствием формулы косинуса двойного угла $\cos(2x) = 2\cos^2(x) - 1$. Из нее следует, что $1 + \cos(2x) = 2\cos^2(x)$.

В нашем случае, аргумент $2x$ равен $\frac{\pi}{2} - \alpha$. Отсюда находим $x$:

$2x = \frac{\pi}{2} - \alpha \implies x = \frac{1}{2}\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) = \frac{\pi}{4} - \frac{\alpha}{2}$.

Применяя формулу, получаем:

$1 + \cos\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) = 2\cos^2\left(\frac{\pi}{4} - \frac{\alpha}{2}\right)$.

Таким образом, мы преобразовали левую часть исходного равенства к виду правой части. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

2) Докажем тождество $1 - \sin\alpha = 2\sin^2\left(\frac{\pi}{4} - \frac{\alpha}{2}\right)$.

Доказательство этого тождества аналогично предыдущему. Преобразуем левую часть, используя ту же формулу приведения: $\sin\alpha = \cos\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right)$.

Подставляем в левую часть:

$1 - \sin\alpha = 1 - \cos\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right)$.

Теперь используем другую формулу понижения степени, которая также является следствием формулы косинуса двойного угла $\cos(2x) = 1 - 2\sin^2(x)$. Из нее следует, что $1 - \cos(2x) = 2\sin^2(x)$.

Как и в первом пункте, аргумент $2x$ равен $\frac{\pi}{2} - \alpha$, и, следовательно, $x = \frac{\pi}{4} - \frac{\alpha}{2}$.

Применив формулу, получаем:

$1 - \cos\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) = 2\sin^2\left(\frac{\pi}{4} - \frac{\alpha}{2}\right)$.

Таким образом, левая часть исходного равенства равна правой. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

26.15. Упростите выражение:

1) $1 - 8\sin2\beta \cdot \cos2\beta$;

2) $\operatorname{tg}\beta \cdot (1 + \cos2\beta) - \sin2\beta$;

3) $\frac{2\sin\beta - \sin2\beta}{2\sin\beta + \sin2\beta}$;

4) $\frac{\operatorname{ctg}(45^\circ - \beta)}{1 - \operatorname{ctg}^2(45^\circ - \beta)}$;

1)

Рассмотрим выражение $1 - 8\sin2\beta \cdot \cos2\beta$.

Для упрощения данного выражения воспользуемся формулой синуса двойного угла: $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$.

Представим множитель $8$ как $4 \cdot 2$:

$1 - 4 \cdot (2\sin2\beta \cos2\beta)$

Теперь применим формулу синуса двойного угла для аргумента $2\beta$ (то есть, в формуле $\alpha = 2\beta$):

$2\sin2\beta \cos2\beta = \sin(2 \cdot 2\beta) = \sin(4\beta)$.

Подставив полученное выражение обратно, получаем:

$1 - 4\sin(4\beta)$.

Ответ: $1 - 4\sin(4\beta)$.

2)

Рассмотрим выражение $\operatorname{tg}\beta \cdot (1 + \cos2\beta) - \sin2\beta$.

Для упрощения воспользуемся тригонометрическими формулами двойного угла:

$1 + \cos2\beta = 2\cos^2\beta$

$\sin2\beta = 2\sin\beta\cos\beta$

Также заменим тангенс отношением синуса к косинусу: $\operatorname{tg}\beta = \frac{\sin\beta}{\cos\beta}$.

Подставим эти выражения в исходное:

$\frac{\sin\beta}{\cos\beta} \cdot (2\cos^2\beta) - 2\sin\beta\cos\beta$

При условии, что $\cos\beta \neq 0$, сократим $\cos\beta$ в первом слагаемом:

$\sin\beta \cdot (2\cos\beta) - 2\sin\beta\cos\beta = 2\sin\beta\cos\beta - 2\sin\beta\cos\beta = 0$.

Ответ: $0$.

3)

Рассмотрим выражение $\frac{2\sin\beta - \sin2\beta}{2\sin\beta + \sin2\beta}$.

Используем формулу синуса двойного угла $\sin2\beta = 2\sin\beta\cos\beta$ и подставим ее в числитель и знаменатель дроби:

$\frac{2\sin\beta - 2\sin\beta\cos\beta}{2\sin\beta + 2\sin\beta\cos\beta}$

Вынесем общий множитель $2\sin\beta$ за скобки в числителе и знаменателе (при условии, что $\sin\beta \neq 0$):

$\frac{2\sin\beta(1 - \cos\beta)}{2\sin\beta(1 + \cos\beta)}$

Сократим дробь на $2\sin\beta$:

$\frac{1 - \cos\beta}{1 + \cos\beta}$

Теперь применим формулы половинного угла (или формулы понижения степени):

$1 - \cos\beta = 2\sin^2\left(\frac{\beta}{2}\right)$

$1 + \cos\beta = 2\cos^2\left(\frac{\beta}{2}\right)$

Подставим их в наше выражение:

$\frac{2\sin^2\left(\frac{\beta}{2}\right)}{2\cos^2\left(\frac{\beta}{2}\right)} = \frac{\sin^2\left(\frac{\beta}{2}\right)}{\cos^2\left(\frac{\beta}{2}\right)} = \operatorname{tg}^2\left(\frac{\beta}{2}\right)$.

Ответ: $\operatorname{tg}^2\left(\frac{\beta}{2}\right)$.

4)

Рассмотрим выражение $\frac{\operatorname{ctg}(45^\circ - \beta)}{1 - \operatorname{ctg}^2(45^\circ - \beta)}$.

Для удобства введем замену: пусть $\alpha = 45^\circ - \beta$. Тогда выражение примет вид:

$\frac{\operatorname{ctg}\alpha}{1 - \operatorname{ctg}^2\alpha}$

Вспомним формулу котангенса двойного угла: $\operatorname{ctg}(2\alpha) = \frac{\operatorname{ctg}^2\alpha - 1}{2\operatorname{ctg}\alpha}$.

Преобразуем наше выражение, чтобы оно стало похожим на часть этой формулы:

$\frac{\operatorname{ctg}\alpha}{1 - \operatorname{ctg}^2\alpha} = \frac{\operatorname{ctg}\alpha}{-(\operatorname{ctg}^2\alpha - 1)} = -\frac{\operatorname{ctg}\alpha}{\operatorname{ctg}^2\alpha - 1}$

Из формулы котангенса двойного угла следует, что $\frac{\operatorname{ctg}^2\alpha - 1}{\operatorname{ctg}\alpha} = 2\operatorname{ctg}(2\alpha)$. Тогда обратная дробь $\frac{\operatorname{ctg}\alpha}{\operatorname{ctg}^2\alpha - 1} = \frac{1}{2\operatorname{ctg}(2\alpha)}$.

Подставим это в наше преобразованное выражение:

$-\frac{1}{2\operatorname{ctg}(2\alpha)} = -\frac{1}{2}\operatorname{tg}(2\alpha)$.

Теперь вернемся к исходной переменной, подставив $\alpha = 45^\circ - \beta$:

$-\frac{1}{2}\operatorname{tg}(2(45^\circ - \beta)) = -\frac{1}{2}\operatorname{tg}(90^\circ - 2\beta)$.

Используем формулу приведения $\operatorname{tg}(90^\circ - x) = \operatorname{ctg}x$:

$-\frac{1}{2}\operatorname{ctg}(2\beta)$.

Ответ: $-\frac{1}{2}\operatorname{ctg}(2\beta)$.

26.16. Докажите тождество:

1) $2 + \frac{\cos 3\alpha}{\cos \alpha} - \frac{\sin 3\alpha}{\sin \alpha} = 0;$

2) $\operatorname{tg} \alpha + 2\operatorname{ctg} 2\alpha = \operatorname{ctg} \alpha;$

3) $\operatorname{tg} 2\alpha + 2\operatorname{ctg} 2\alpha = \frac{2}{\sin 4\alpha};$

4) $\frac{1 - \cos \alpha + \cos 2\alpha}{\sin 2\alpha - \sin \alpha} = \operatorname{ctg} \alpha;$

5) $\operatorname{ctg} \alpha - \cos 2\alpha \cdot \operatorname{ctg} \alpha = \sin 2\alpha;$

6) $\operatorname{ctg} 2\alpha - \sin 4\alpha = \cos 4\alpha \cdot \operatorname{ctg} 2\alpha;$

7) $1 + \cos(3\pi + 3\alpha) \cos 2\alpha - \cos(1.5\pi - 3\alpha) \sin 2\alpha = 2\sin^2 2.5\alpha;$

8) $\operatorname{tg}^4 \alpha \cdot (8\cos^2 (\pi - \alpha) - \cos (\pi + 4\alpha) - 1) = 8\sin^4 \alpha;$

9) $\frac{1 - 2\sin^2 \alpha}{2\operatorname{ctg}\left(\frac{\pi}{4} - \alpha\right) \cos^2\left(\frac{\pi}{4} + \alpha\right)} = 1;$

10) $2\operatorname{tg}\frac{\alpha}{2} \cdot (\operatorname{tg}\alpha + \operatorname{ctg}\alpha) \cdot \left(1 - \operatorname{tg}^2\frac{\alpha}{2}\right) = \frac{1}{\cos^4 \frac{\alpha}{2}}.$

1) Докажем тождество $2 + \frac{\cos 3\alpha}{\cos \alpha} - \frac{\sin 3\alpha}{\sin \alpha} = 0$.

Преобразуем левую часть равенства, приведя дроби к общему знаменателю $\sin\alpha\cos\alpha$:

$2 + \frac{\cos 3\alpha}{\cos \alpha} - \frac{\sin 3\alpha}{\sin \alpha} = \frac{2\sin\alpha\cos\alpha + \sin\alpha\cos 3\alpha - \cos\alpha\sin 3\alpha}{\sin\alpha\cos\alpha}$

В числителе используем формулу синуса двойного угла $2\sin\alpha\cos\alpha = \sin 2\alpha$ и формулу синуса разности $\sin(A - B) = \sin A\cos B - \cos A\sin B$:

$\sin\alpha\cos 3\alpha - \cos\alpha\sin 3\alpha = \sin(\alpha - 3\alpha) = \sin(-2\alpha) = -\sin 2\alpha$

Тогда числитель примет вид:

$\sin 2\alpha - \sin 2\alpha = 0$

Таким образом, все выражение равно 0 (при условии, что знаменатель $\sin\alpha\cos\alpha \neq 0$):

$\frac{0}{\sin\alpha\cos\alpha} = 0$

Левая часть равна правой. Тождество доказано.

Ответ: $2 + \frac{\cos 3\alpha}{\cos \alpha} - \frac{\sin 3\alpha}{\sin \alpha} = 0$.

2) Докажем тождество $\text{tg}\alpha + 2\text{ctg}2\alpha = \text{ctg}\alpha$.

Преобразуем левую часть. Выразим тангенс и котангенс через синус и косинус, используя формулу двойного угла $\sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha$:

$\text{tg}\alpha + 2\text{ctg}2\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} + 2\frac{\cos 2\alpha}{\sin 2\alpha} = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} + 2\frac{\cos 2\alpha}{2\sin\alpha\cos\alpha} = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} + \frac{\cos 2\alpha}{\sin\alpha\cos\alpha}$

Приведем к общему знаменателю:

$\frac{\sin^2\alpha + \cos 2\alpha}{\sin\alpha\cos\alpha}$

Используем формулу косинуса двойного угла $\cos 2\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha$:

$\frac{\sin^2\alpha + (\cos^2\alpha - \sin^2\alpha)}{\sin\alpha\cos\alpha} = \frac{\cos^2\alpha}{\sin\alpha\cos\alpha} = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} = \text{ctg}\alpha$

Левая часть равна правой. Тождество доказано.

Ответ: $\text{tg}\alpha + 2\text{ctg}2\alpha = \text{ctg}\alpha$.

3) Докажем тождество $\text{tg}2\alpha + 2\text{ctg}2\alpha = \frac{2}{\sin 4\alpha}$.

Примечание: В условии задачи, скорее всего, опечатка. Тождество в виде $\text{tg}2\alpha + 2\text{ctg}2\alpha = \frac{2}{\sin 4\alpha}$ неверно. Вероятно, имелось в виду $\text{tg}2\alpha + \text{ctg}2\alpha = \frac{2}{\sin 4\alpha}$. Докажем скорректированное тождество.

Преобразуем левую часть, выразив тангенс и котангенс через синус и косинус:

$\text{tg}2\alpha + \text{ctg}2\alpha = \frac{\sin 2\alpha}{\cos 2\alpha} + \frac{\cos 2\alpha}{\sin 2\alpha} = \frac{\sin^2 2\alpha + \cos^2 2\alpha}{\sin 2\alpha \cos 2\alpha}$

Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ и формулу синуса двойного угла $\sin(2x) = 2\sin x \cos x$, получим:

$\frac{1}{\sin 2\alpha \cos 2\alpha} = \frac{1}{\frac{1}{2} (2\sin 2\alpha \cos 2\alpha)} = \frac{1}{\frac{1}{2}\sin(2 \cdot 2\alpha)} = \frac{2}{\sin 4\alpha}$

Левая часть равна правой. Тождество доказано.

Ответ: $\text{tg}2\alpha + \text{ctg}2\alpha = \frac{2}{\sin 4\alpha}$.

4) Докажем тождество $\frac{1 - \cos\alpha + \cos 2\alpha}{\sin 2\alpha - \sin\alpha} = \text{ctg}\alpha$.

Преобразуем числитель, используя формулу $1 + \cos 2\alpha = 2\cos^2\alpha$:

$1 - \cos\alpha + \cos 2\alpha = (1 + \cos 2\alpha) - \cos\alpha = 2\cos^2\alpha - \cos\alpha = \cos\alpha(2\cos\alpha - 1)$

Преобразуем знаменатель, используя формулу $\sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha$:

$\sin 2\alpha - \sin\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha - \sin\alpha = \sin\alpha(2\cos\alpha - 1)$

Теперь подставим преобразованные выражения в левую часть:

$\frac{\cos\alpha(2\cos\alpha - 1)}{\sin\alpha(2\cos\alpha - 1)}$

Сократим общий множитель $(2\cos\alpha - 1)$ (при условии, что он не равен нулю):

$\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} = \text{ctg}\alpha$

Левая часть равна правой. Тождество доказано.

Ответ: $\frac{1 - \cos\alpha + \cos 2\alpha}{\sin 2\alpha - \sin\alpha} = \text{ctg}\alpha$.

5) Докажем тождество $\text{ctg}\alpha - \cos 2\alpha \cdot \text{ctg}\alpha = \sin 2\alpha$.

В левой части вынесем общий множитель $\text{ctg}\alpha$ за скобки:

$\text{ctg}\alpha (1 - \cos 2\alpha)$

Используем формулу понижения степени $1 - \cos 2\alpha = 2\sin^2\alpha$:

$\text{ctg}\alpha \cdot (2\sin^2\alpha) = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} \cdot 2\sin^2\alpha$

Сократим $\sin\alpha$:

$2\sin\alpha\cos\alpha$

По формуле синуса двойного угла, это выражение равно $\sin 2\alpha$.

Левая часть равна правой. Тождество доказано.

Ответ: $\text{ctg}\alpha - \cos 2\alpha \cdot \text{ctg}\alpha = \sin 2\alpha$.

6) Докажем тождество $\text{ctg}2\alpha - \sin 4\alpha = \cos 4\alpha \cdot \text{ctg}2\alpha$.

Перенесем слагаемое с $\text{ctg}2\alpha$ в левую часть:

$\text{ctg}2\alpha - \cos 4\alpha \cdot \text{ctg}2\alpha = \sin 4\alpha$

Вынесем общий множитель $\text{ctg}2\alpha$ за скобки:

$\text{ctg}2\alpha (1 - \cos 4\alpha)$

Используем формулу понижения степени $1 - \cos(2x) = 2\sin^2(x)$, где $x=2\alpha$:

$1 - \cos 4\alpha = 2\sin^2(2\alpha)$

Подставим в выражение:

$\text{ctg}2\alpha \cdot 2\sin^2(2\alpha) = \frac{\cos 2\alpha}{\sin 2\alpha} \cdot 2\sin^2(2\alpha)$

Сократим $\sin 2\alpha$:

$2\sin 2\alpha \cos 2\alpha$

По формуле синуса двойного угла, это выражение равно $\sin(2 \cdot 2\alpha) = \sin 4\alpha$.

Левая часть равна правой. Тождество доказано.

Ответ: $\text{ctg}2\alpha - \sin 4\alpha = \cos 4\alpha \cdot \text{ctg}2\alpha$.

7) Докажем тождество $1 + \cos(3\pi + 3\alpha)\cos 2\alpha - \cos(1.5\pi - 3\alpha)\sin 2\alpha = 2\sin^2(2.5\alpha)$.

Упростим тригонометрические функции, используя формулы приведения:

$\cos(3\pi + 3\alpha) = \cos(2\pi + \pi + 3\alpha) = \cos(\pi + 3\alpha) = -\cos(3\alpha)$

$\cos(1.5\pi - 3\alpha) = \cos(\frac{3\pi}{2} - 3\alpha) = -\sin(3\alpha)$

Подставим эти выражения в левую часть:

$1 + (-\cos(3\alpha))\cos 2\alpha - (-\sin(3\alpha))\sin 2\alpha = 1 - \cos 3\alpha \cos 2\alpha + \sin 3\alpha \sin 2\alpha$

$= 1 - (\cos 3\alpha \cos 2\alpha - \sin 3\alpha \sin 2\alpha)$

Используем формулу косинуса суммы $\cos(A+B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B$:

$1 - \cos(3\alpha + 2\alpha) = 1 - \cos(5\alpha)$

Используем формулу понижения степени $1 - \cos x = 2\sin^2(x/2)$:

$1 - \cos(5\alpha) = 2\sin^2(\frac{5\alpha}{2}) = 2\sin^2(2.5\alpha)$

Левая часть равна правой. Тождество доказано.

Ответ: $1 + \cos(3\pi + 3\alpha)\cos 2\alpha - \cos(1.5\pi - 3\alpha)\sin 2\alpha = 2\sin^2(2.5\alpha)$.

8) Докажем тождество $\text{tg}^4\alpha \cdot (8\cos^2(\pi - \alpha) - \cos(\pi + 4\alpha) - 1) = 8\sin^4\alpha$.

Преобразуем выражение в скобках, используя формулы приведения:

$\cos(\pi - \alpha) = -\cos\alpha \Rightarrow \cos^2(\pi - \alpha) = \cos^2\alpha$

$\cos(\pi + 4\alpha) = -\cos(4\alpha)$

Выражение в скобках становится:

$8\cos^2\alpha - (-\cos(4\alpha)) - 1 = 8\cos^2\alpha + \cos(4\alpha) - 1$

Используем формулу косинуса двойного угла $\cos(2x) = 2\cos^2 x - 1$. Сначала для $\cos(4\alpha) = 2\cos^2(2\alpha) - 1$:

$8\cos^2\alpha + (2\cos^2(2\alpha) - 1) - 1 = 8\cos^2\alpha + 2\cos^2(2\alpha) - 2$

Теперь для $\cos(2\alpha) = 2\cos^2\alpha - 1$:

$8\cos^2\alpha + 2(2\cos^2\alpha - 1)^2 - 2 = 8\cos^2\alpha + 2(4\cos^4\alpha - 4\cos^2\alpha + 1) - 2$

$= 8\cos^2\alpha + 8\cos^4\alpha - 8\cos^2\alpha + 2 - 2 = 8\cos^4\alpha$

Подставим результат в левую часть исходного тождества:

$\text{tg}^4\alpha \cdot (8\cos^4\alpha) = \frac{\sin^4\alpha}{\cos^4\alpha} \cdot 8\cos^4\alpha = 8\sin^4\alpha$

Левая часть равна правой. Тождество доказано.

Ответ: $\text{tg}^4\alpha \cdot (8\cos^2(\pi - \alpha) - \cos(\pi + 4\alpha) - 1) = 8\sin^4\alpha$.

9) Докажем тождество $\frac{1 - 2\sin^2\alpha}{2\text{ctg}(\frac{\pi}{4} - \alpha)\cos^2(\frac{\pi}{4} + \alpha)} = 1$.

Преобразуем числитель, используя формулу косинуса двойного угла $1 - 2\sin^2\alpha = \cos(2\alpha)$.

Преобразуем знаменатель. Используем формулы приведения:

$\text{ctg}(\frac{\pi}{4} - \alpha) = \frac{\cos(\frac{\pi}{4} - \alpha)}{\sin(\frac{\pi}{4} - \alpha)}$

$\cos(\frac{\pi}{4} + \alpha) = \sin(\frac{\pi}{2} - (\frac{\pi}{4} + \alpha)) = \sin(\frac{\pi}{4} - \alpha)$

Тогда знаменатель равен:

$2 \cdot \frac{\cos(\frac{\pi}{4} - \alpha)}{\sin(\frac{\pi}{4} - \alpha)} \cdot \sin^2(\frac{\pi}{4} - \alpha) = 2\sin(\frac{\pi}{4} - \alpha)\cos(\frac{\pi}{4} - \alpha)$

Используем формулу синуса двойного угла $2\sin x \cos x = \sin(2x)$:

$2\sin(\frac{\pi}{4} - \alpha)\cos(\frac{\pi}{4} - \alpha) = \sin(2(\frac{\pi}{4} - \alpha)) = \sin(\frac{\pi}{2} - 2\alpha)$

Снова по формуле приведения $\sin(\frac{\pi}{2} - 2\alpha) = \cos(2\alpha)$.

Подставим преобразованные числитель и знаменатель в исходное выражение:

$\frac{\cos(2\alpha)}{\cos(2\alpha)} = 1$

Левая часть равна правой. Тождество доказано.

Ответ: $\frac{1 - 2\sin^2\alpha}{2\text{ctg}(\frac{\pi}{4} - \alpha)\cos^2(\frac{\pi}{4} + \alpha)} = 1$.

10) Докажем тождество $2\text{tg}\frac{\alpha}{2} \cdot (\text{tg}\alpha + \text{ctg}\alpha) \cdot (1 - \text{tg}^2\frac{\alpha}{2}) = \frac{1}{\cos^4\frac{\alpha}{2}}$.

Преобразуем каждый множитель в левой части, выражая их через синусы и косинусы половинного угла $\frac{\alpha}{2}$.

1. $\text{tg}\frac{\alpha}{2} = \frac{\sin(\alpha/2)}{\cos(\alpha/2)}$

2. $\text{tg}\alpha + \text{ctg}\alpha = \frac{1}{\sin\alpha\cos\alpha}$. Используя формулы двойного угла $\sin\alpha = 2\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2}$ и $\cos\alpha = \cos^2\frac{\alpha}{2} - \sin^2\frac{\alpha}{2}$, получаем:

$\text{tg}\alpha + \text{ctg}\alpha = \frac{1}{(2\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2})(\cos^2\frac{\alpha}{2} - \sin^2\frac{\alpha}{2})}$

3. $1 - \text{tg}^2\frac{\alpha}{2} = 1 - \frac{\sin^2(\alpha/2)}{\cos^2(\alpha/2)} = \frac{\cos^2(\alpha/2) - \sin^2(\alpha/2)}{\cos^2(\alpha/2)}$

Теперь перемножим все части:

$2 \cdot \frac{\sin(\alpha/2)}{\cos(\alpha/2)} \cdot \frac{1}{(2\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2})(\cos^2\frac{\alpha}{2} - \sin^2\frac{\alpha}{2})} \cdot \frac{\cos^2(\alpha/2) - \sin^2(\alpha/2)}{\cos^2(\alpha/2)}$

Сократим одинаковые множители в числителе и знаменателе: $2$, $\sin(\alpha/2)$ и $(\cos^2(\alpha/2) - \sin^2(\alpha/2))$.

Остается:

$\frac{1}{\cos(\alpha/2)} \cdot \frac{1}{\cos(\alpha/2)} \cdot \frac{1}{\cos^2(\alpha/2)} = \frac{1}{\cos^4(\alpha/2)}$

Левая часть равна правой. Тождество доказано.

Ответ: $2\text{tg}\frac{\alpha}{2} \cdot (\text{tg}\alpha + \text{ctg}\alpha) \cdot (1 - \text{tg}^2\frac{\alpha}{2}) = \frac{1}{\cos^4\frac{\alpha}{2}}$.