Страница 66, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник часть 1, 2 Абылкасымова, Кучер

6.18. Покажите штриховкой множество точек координатной плоскости, заданной системой неравенств:

1) $ \begin{cases} y \ge |x|, \\ x^2 + y \le 9; \end{cases} $2) $ \begin{cases} y \ge |x|, \\ x^2 + y \le 4; \end{cases} $3) $ \begin{cases} y \ge 2 - |x|, \\ x^2 + y \le 3; \end{cases} $4) $ \begin{cases} y \ge 3 - |x|, \\ x^2 - y \le 3. \end{cases} $

1) Решим систему неравенств: $ \begin{cases} y \ge |x|, \\ x^2 + y \le 9; \end{cases} $

Первое неравенство, $y \ge |x|$, задает множество точек, расположенных на и выше графика функции $y = |x|$. График $y = |x|$ представляет собой две прямые $y=x$ при $x \ge 0$ и $y=-x$ при $x < 0$, образующие "угол" с вершиной в начале координат.

Второе неравенство, $x^2 + y \le 9$, можно переписать в виде $y \le 9 - x^2$. Оно задает множество точек, расположенных на и ниже параболы $y = 9 - x^2$. Эта парабола с ветвями, направленными вниз, и вершиной в точке $(0, 9)$.

Решением системы является пересечение этих двух множеств — область, ограниченная снизу "углом" $y=|x|$ и сверху параболой $y=9-x^2$. Границы области, являющиеся решениями соответствующих уравнений, включаются в искомое множество.

Ответ: Множество точек, удовлетворяющих системе неравенств, заштриховано на рисунке. Это область, ограниченная снизу графиком $y=|x|$ (синяя линия) и сверху параболой $y=9-x^2$ (красная линия).

2) Решим систему неравенств: $ \begin{cases} y \ge |x|, \\ x^2 + y \le 4; \end{cases} $

Первое неравенство, $y \ge |x|$, задает область на и выше графика функции $y = |x|$.

Второе неравенство, $x^2 + y \le 4$, можно представить как $y \le 4 - x^2$. Оно задает область на и ниже параболы $y = 4 - x^2$ с вершиной в точке $(0, 4)$ и ветвями вниз.

Решением системы является пересечение этих двух областей, то есть фигура, ограниченная снизу "углом" $y=|x|$ и сверху параболой $y=4-x^2$. Границы включены.

Ответ: Множество точек, удовлетворяющих системе, заштриховано на рисунке. Это область, ограниченная снизу графиком $y=|x|$ (синяя линия) и сверху параболой $y=4-x^2$ (красная линия).

3) Решим систему неравенств: $ \begin{cases} y \ge 2 - |x|, \\ x^2 + y \le 3; \end{cases} $

Первое неравенство, $y \ge 2 - |x|$, задает множество точек на и выше графика функции $y = 2 - |x|$. График этой функции — "угол", перевернутый и сдвинутый вверх, с вершиной в точке $(0, 2)$.

Второе неравенство, $x^2 + y \le 3$, или $y \le 3 - x^2$, задает множество точек на и ниже параболы $y = 3 - x^2$. Это парабола с ветвями вниз и вершиной в точке $(0, 3)$.

Решением системы является пересечение этих двух множеств — область, заключенная между "углом" $y = 2 - |x|$ и параболой $y = 3 - x^2$. Границы включены.

Ответ: Множество точек, удовлетворяющих системе, заштриховано на рисунке. Это область, ограниченная снизу графиком $y=2-|x|$ (синяя линия) и сверху параболой $y=3-x^2$ (красная линия).

4) Решим систему неравенств: $ \begin{cases} y \ge 3 - |x|, \\ x^2 - y \le 3. \end{cases} $

Первое неравенство, $y \ge 3 - |x|$, задает множество точек на и выше графика функции $y = 3 - |x|$. Это "угол", перевернутый и смещенный вверх, с вершиной в точке $(0, 3)$.

Второе неравенство, $x^2 - y \le 3$, можно переписать как $y \ge x^2 - 3$. Оно задает множество точек на и выше параболы $y = x^2 - 3$. Это парабола с ветвями вверх и вершиной в точке $(0, -3)$.

Решением системы является множество точек, которые находятся одновременно выше обоих графиков. Таким образом, искомое множество точек лежит выше границы, образованной "верхней огибающей" двух графиков: $y=3-|x|$ для $x \in [-2, 2]$ и $y=x^2-3$ для $x \notin [-2, 2]$.

Ответ: Множество точек, удовлетворяющих системе, заштриховано на рисунке. Это область, расположенная над границей, которая состоит из части параболы $y=x^2-3$ (красная линия) при $|x| \ge 2$ и части "угла" $y=3-|x|$ (синяя линия) при $|x| < 2$.

*6.19. При каких значениях параметров $a$ и $c$ системой неравенств $ \begin{cases} 2x - y \le 3c, \\ ax + y \le 3 \end{cases} $ задается на координатной плоскости полоса? Приведите пример.

Система неравенств задает на координатной плоскости полосу, если она описывает область, заключенную между двумя параллельными прямыми. Каждое неравенство в системе определяет полуплоскость, а их пересечение — искомую область.

Границами этих полуплоскостей являются прямые, заданные уравнениями:

$l_1: 2x - y = 3c$

$l_2: ax + y = 3$

Для того чтобы эти прямые были параллельны, их угловые коэффициенты должны быть равны. Выразим $y$ в каждом уравнении, чтобы найти угловые коэффициенты:

$l_1: y = 2x - 3c$. Угловой коэффициент $k_1 = 2$.

$l_2: y = -ax + 3$. Угловой коэффициент $k_2 = -a$.

Условие параллельности прямых $k_1 = k_2$ дает:

$2 = -a$

$a = -2$

Теперь, когда мы нашли значение $a$, подставим его в исходную систему неравенств:

$\begin{cases} 2x - y \le 3c, \\ -2x + y \le 3 \end{cases}$

Выразим $y$ из каждого неравенства, чтобы понять, какая область задается системой:

1. Из первого неравенства: $2x - y \le 3c \implies -y \le -2x + 3c \implies y \ge 2x - 3c$.

2. Из второго неравенства: $-2x + y \le 3 \implies y \le 2x + 3$.

Система неравенств принимает вид $\begin{cases} y \ge 2x - 3c \\ y \le 2x + 3 \end{cases}$, что можно записать как двойное неравенство:

$2x - 3c \le y \le 2x + 3$

Это неравенство описывает полосу между двумя параллельными прямыми $y = 2x - 3c$ (нижняя граница) и $y = 2x + 3$ (верхняя граница). Для того чтобы эта полоса существовала и не была вырожденной (т.е. имела ненулевую ширину), нижняя граница должна быть строго ниже верхней границы. Это означает, что для любого $x$ должно выполняться:

$2x - 3c < 2x + 3$

$-3c < 3$

Разделив обе части на $-3$, необходимо изменить знак неравенства на противоположный:

$c > -1$

Если $c = -1$, то обе прямые совпадают ($y = 2x + 3$), и решением является сама эта прямая (вырожденная полоса). Если $c < -1$, то система не имеет решений (пустое множество). Обычно под "полосой" понимают невырожденный случай, поэтому условием является $c > -1$.

Таким образом, система задает полосу при $a = -2$ и $c > -1$.

Приведите пример.

Выберем значения параметров, удовлетворяющие найденным условиям. Пусть $a = -2$ и $c = 1$ (так как $1 > -1$).

Подставим эти значения в исходную систему:

$\begin{cases} 2x - y \le 3(1) \\ -2x + y \le 3 \end{cases} \implies \begin{cases} 2x - y \le 3 \\ -2x + y \le 3 \end{cases}$

Эта система задает на координатной плоскости полосу, заключенную между параллельными прямыми $y = 2x - 3$ и $y = 2x + 3$.

Ответ: Система неравенств задает на координатной плоскости полосу при $a=-2$ и $c > -1$.

6.20. Покажите штриховкой множество точек координатной плоскости, заданной системой неравенств:

1) $\begin{cases} |y| \geq |x| \\ x^2 + y^2 \leq 9 \end{cases};$2) $\begin{cases} |y| \leq |x| \\ x^2 + y^2 \leq 4 \end{cases};$3) $\begin{cases} y \geq 2 - |x| \\ x^2 + y^2 \leq 5 \end{cases};$4) $\begin{cases} y \geq 3 - |x| \\ x^2 + y^2 \leq 7 \end{cases}.$

1)

Рассмотрим систему неравенств: $$ \begin{cases} |y| \ge |x| \\ x^2 + y^2 \le 9 \end{cases} $$ Первое неравенство, $|y| \ge |x|$, задает множество точек, для которых модуль ординаты не меньше модуля абсциссы. Границами этой области являются биссектрисы координатных углов — прямые $y = x$ и $y = -x$. Неравенству удовлетворяют точки, расположенные в двух вертикальных секторах, образованных этими прямыми и содержащих ось $Oy$.
Второе неравенство, $x^2 + y^2 \le 9$, задает замкнутый круг с центром в начале координат $(0,0)$ и радиусом $R = \sqrt{9} = 3$.
Решением системы является пересечение этих двух множеств: часть круга радиуса 3, находящаяся в указанных вертикальных секторах.

Ответ: Решением системы является множество точек, образующее два сектора круга с центром в $(0,0)$ и радиусом 3. Секторы ограничены прямыми $y=x$ и $y=-x$ и содержат ось $Oy$. Границы включены в решение.

2)

Рассмотрим систему неравенств: $$ \begin{cases} |y| \le |x| \\ x^2 + y^2 \le 4 \end{cases} $$ Первое неравенство, $|y| \le |x|$, задает множество точек, для которых модуль ординаты не превосходит модуля абсциссы. Границами этой области являются прямые $y = x$ и $y = -x$. Неравенству удовлетворяют точки, расположенные в двух горизонтальных секторах, образованных этими прямыми и содержащих ось $Ox$.
Второе неравенство, $x^2 + y^2 \le 4$, задает замкнутый круг с центром в начале координат $(0,0)$ и радиусом $R = \sqrt{4} = 2$.
Решением системы является пересечение этих двух множеств: часть круга радиуса 2, находящаяся в указанных горизонтальных секторах.

Ответ: Решением системы является множество точек, образующее два сектора круга с центром в $(0,0)$ и радиусом 2. Секторы ограничены прямыми $y=x$ и $y=-x$ и содержат ось $Ox$. Границы включены в решение.

3)

Рассмотрим систему неравенств: $$ \begin{cases} y \ge 2 - |x| \\ x^2 + y^2 \le 5 \end{cases} $$ Первое неравенство, $y \ge 2 - |x|$, задает область над графиком функции $y = 2 - |x|$. График представляет собой "уголок", с ветвями, направленными вниз, и вершиной в точке $(0, 2)$.
Второе неравенство, $x^2 + y^2 \le 5$, задает замкнутый круг с центром в начале координат $(0,0)$ и радиусом $R = \sqrt{5} \approx 2.24$.
Решением системы является пересечение этих двух множеств: часть круга, расположенная выше графика $y = 2 - |x|$. Вершина уголка $(0, 2)$ находится внутри круга, так как $0^2 + 2^2 = 4 < 5$.

Ответ: Решением системы является сегмент круга $x^2 + y^2 \le 5$, отсекаемый сверху "уголком" $y = 2 - |x|$. Границы включены в решение.

4)

Рассмотрим систему неравенств: $$ \begin{cases} y \ge 3 - |x| \\ x^2 + y^2 \le 7 \end{cases} $$ Первое неравенство, $y \ge 3 - |x|$, задает область над графиком функции $y = 3 - |x|$. График представляет собой "уголок", с ветвями, направленными вниз, и вершиной в точке $(0, 3)$.
Второе неравенство, $x^2 + y^2 \le 7$, задает замкнутый круг с центром в начале координат $(0,0)$ и радиусом $R = \sqrt{7} \approx 2.65$.
Решением системы является пересечение этих двух множеств. Вершина уголка $(0, 3)$ находится вне круга, так как $0^2 + 3^2 = 9 > 7$. Таким образом, "уголок" отсекает верхнюю часть круга. Искомое множество — это часть круга, расположенная над графиком $y = 3 - |x|$.

Ответ: Решением системы является верхний сегмент круга $x^2 + y^2 \le 7$, отсекаемый "уголком" $y = 3 - |x|$. Границы включены в решение.

6.21. Найдите корни уравнения:

1) $x^3 - 2x^2 - 4x = -8;$

2) $x^3 - 5x^2 = 2x - 10;$

3) $x^4 - 2x^2 - 4x^3 = -8x.$

1) $x³ - 2x² - 4x = -8$

Перенесем все слагаемые в левую часть уравнения, чтобы получить уравнение, равное нулю:

$x³ - 2x² - 4x + 8 = 0$

Сгруппируем слагаемые для разложения на множители методом группировки:

$(x³ - 2x²) + (-4x + 8) = 0$

Вынесем общие множители из каждой группы:

$x²(x - 2) - 4(x - 2) = 0$

Теперь вынесем общий множитель $(x - 2)$ за скобки:

$(x - 2)(x² - 4) = 0$

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю. Таким образом, мы имеем два случая:

1. $x - 2 = 0 \implies x = 2$

2. $x² - 4 = 0 \implies x² = 4 \implies x = 2$ или $x = -2$

Объединяя решения, получаем два различных корня.

Ответ: -2; 2.

2) $x³ - 5x² = 2x - 10$

Перенесем все слагаемые в левую часть уравнения:

$x³ - 5x² - 2x + 10 = 0$

Сгруппируем слагаемые:

$(x³ - 5x²) + (-2x + 10) = 0$

Вынесем общие множители из каждой группы:

$x²(x - 5) - 2(x - 5) = 0$

Вынесем общий множитель $(x - 5)$ за скобки:

$(x - 5)(x² - 2) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:

1. $x - 5 = 0 \implies x = 5$

2. $x² - 2 = 0 \implies x² = 2 \implies x = \sqrt{2}$ или $x = -\sqrt{2}$

Таким образом, уравнение имеет три корня.

Ответ: $-\sqrt{2}; \sqrt{2}; 5$.

3) $x⁴ - 2x² - 4x³ = -8x$

Перенесем все слагаемые в левую часть и упорядочим их по убыванию степеней:

$x⁴ - 4x³ - 2x² + 8x = 0$

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(x³ - 4x² - 2x + 8) = 0$

Это уравнение распадается на два:

1. $x = 0$

2. $x³ - 4x² - 2x + 8 = 0$

Решим второе уравнение методом группировки:

$(x³ - 4x²) - (2x - 8) = 0$

$x²(x - 4) - 2(x - 4) = 0$

$(x - 4)(x² - 2) = 0$

Отсюда получаем еще два случая:

a) $x - 4 = 0 \implies x = 4$

b) $x² - 2 = 0 \implies x² = 2 \implies x = \sqrt{2}$ или $x = -\sqrt{2}$

Соберем все найденные корни.

Ответ: $-\sqrt{2}; 0; \sqrt{2}; 4$.

6.22. Значение разности квадратов двух чисел равно 100. Если из утроенного первого числа вычесть удвоенное второе число, то получим число 30. Найдите эти числа.

Пусть первое число — это $x$, а второе — $y$.

Исходя из условия задачи, составим систему уравнений.

Первое условие: "Значение разности квадратов двух чисел равно 100". Математически это записывается так:

$x^2 - y^2 = 100$

Второе условие: "Если из утроенного первого числа вычесть удвоенное второе число, то получим число 30". Это можно записать в виде уравнения:

$3x - 2y = 30$

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными:

$\begin{cases} x^2 - y^2 = 100 \\ 3x - 2y = 30 \end{cases}$

Решим эту систему. Для начала выразим $y$ из второго уравнения:

$2y = 3x - 30$

$y = \frac{3x - 30}{2}$

Теперь подставим полученное выражение для $y$ в первое уравнение системы:

$x^2 - \left(\frac{3x - 30}{2}\right)^2 = 100$

Упростим это уравнение. Раскроем квадрат в числителе и возведем в квадрат знаменатель:

$x^2 - \frac{9x^2 - 180x + 900}{4} = 100$

Чтобы избавиться от дроби, умножим обе части уравнения на 4:

$4x^2 - (9x^2 - 180x + 900) = 400$

$4x^2 - 9x^2 + 180x - 900 = 400$

Перенесем все члены в левую часть и приведем подобные слагаемые:

$-5x^2 + 180x - 900 - 400 = 0$

$-5x^2 + 180x - 1300 = 0$

Для удобства разделим все уравнение на -5:

$x^2 - 36x + 260 = 0$

Мы получили квадратное уравнение. Решим его через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-36)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 260 = 1296 - 1040 = 256$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два корня. $\sqrt{D} = \sqrt{256} = 16$.

Найдем значения $x$:

$x_1 = \frac{-(-36) + 16}{2 \cdot 1} = \frac{36 + 16}{2} = \frac{52}{2} = 26$

$x_2 = \frac{-(-36) - 16}{2 \cdot 1} = \frac{36 - 16}{2} = \frac{20}{2} = 10$

Теперь найдем соответствующие значения $y$ для каждого $x$, используя ранее выведенную формулу $y = \frac{3x - 30}{2}$.

1. Если $x_1 = 26$, то:

$y_1 = \frac{3 \cdot 26 - 30}{2} = \frac{78 - 30}{2} = \frac{48}{2} = 24$

Таким образом, первая пара чисел — это 26 и 24.

2. Если $x_2 = 10$, то:

$y_2 = \frac{3 \cdot 10 - 30}{2} = \frac{30 - 30}{2} = \frac{0}{2} = 0$

Таким образом, вторая пара чисел — это 10 и 0.

Проверим оба решения:

Для пары (26, 24):

$26^2 - 24^2 = 676 - 576 = 100$ (верно)

$3 \cdot 26 - 2 \cdot 24 = 78 - 48 = 30$ (верно)

Для пары (10, 0):

$10^2 - 0^2 = 100 - 0 = 100$ (верно)

$3 \cdot 10 - 2 \cdot 0 = 30 - 0 = 30$ (верно)

Оба набора чисел удовлетворяют условиям задачи.

Ответ: 26 и 24, или 10 и 0.

6.23. Постройте график уравнения:

1) $ \frac{2x - y}{x - 1} = 0; $

2) $ \frac{x^2 - y}{x + 1} = 0; $

3) $ \frac{2x + x^2 - y}{x + 1} = 0; $

4) $ \frac{4x - x^2 - y}{x - 1} = 0. $

1) Исходное уравнение $\frac{2x - y}{x - 1} = 0$.

Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Это равносильно системе:

$\begin{cases} 2x - y = 0 \\ x - 1 \ne 0 \end{cases}$

Из этой системы получаем:

$\begin{cases} y = 2x \\ x \ne 1 \end{cases}$

Графиком уравнения является прямая $y = 2x$, из которой исключена точка, для которой $x=1$. Найдем координаты этой точки: если $x=1$, то $y = 2 \cdot 1 = 2$. Таким образом, точка $(1; 2)$ должна быть "выколота" на графике.

Ответ: Прямая $y=2x$ с выколотой точкой $(1; 2)$.

2) Исходное уравнение $\frac{x^2 - y}{x + 1} = 0$.

Уравнение равносильно системе:

$\begin{cases} x^2 - y = 0 \\ x + 1 \ne 0 \end{cases}$

Из этой системы получаем:

$\begin{cases} y = x^2 \\ x \ne -1 \end{cases}$

Графиком уравнения является парабола $y = x^2$, из которой исключена точка, для которой $x=-1$. Найдем координаты этой точки: если $x=-1$, то $y = (-1)^2 = 1$. Таким образом, точка $(-1; 1)$ должна быть "выколота" на графике.

Ответ: Парабола $y=x^2$ с выколотой точкой $(-1; 1)$.

3) Исходное уравнение $\frac{2x + x^2 - y}{x + 1} = 0$.

Уравнение равносильно системе:

$\begin{cases} 2x + x^2 - y = 0 \\ x + 1 \ne 0 \end{cases}$

Из этой системы получаем:

$\begin{cases} y = x^2 + 2x \\ x \ne -1 \end{cases}$

Графиком уравнения является парабола $y = x^2 + 2x$. Для построения найдем вершину параболы: $x_в = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2 \cdot 1} = -1$. $y_в = (-1)^2 + 2(-1) = 1 - 2 = -1$. Вершина находится в точке $(-1; -1)$.

Условие $x \ne -1$ означает, что точка с абсциссой $-1$ должна быть исключена. Эта точка является вершиной параболы. Таким образом, графиком является парабола $y = x^2 + 2x$ с выколотой вершиной $(-1; -1)$.

Ответ: Парабола $y=x^2+2x$ с выколотой точкой (вершиной) $(-1; -1)$.

4) Исходное уравнение $\frac{4x - x^2 - y}{x - 1} = 0$.

Уравнение равносильно системе:

$\begin{cases} 4x - x^2 - y = 0 \\ x - 1 \ne 0 \end{cases}$

Из этой системы получаем:

$\begin{cases} y = -x^2 + 4x \\ x \ne 1 \end{cases}$

Графиком уравнения является парабола $y = -x^2 + 4x$. Ветви параболы направлены вниз. Найдем вершину: $x_в = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2 \cdot (-1)} = 2$. $y_в = -(2)^2 + 4(2) = -4 + 8 = 4$. Вершина находится в точке $(2; 4)$.

Из графика нужно исключить точку, для которой $x=1$. Найдем ее координаты: если $x=1$, то $y = -1^2 + 4(1) = -1 + 4 = 3$. Таким образом, точка $(1; 3)$ должна быть "выколота" на графике.

Ответ: Парабола $y=-x^2+4x$ с выколотой точкой $(1; 3)$.

6.24. В специализированном книжном магазине продается 60 видов книг для детей дошкольного возраста. Они распределены по цене (граничную цену относят к более высокой категории):

Таблица 3

Цена (в тенге) до 150 от 150 до 300 от 300 до 500 500–600 более 600

Количество видов 7 8 ? 20 5

Найдите по таблице 3:

1) сколько видов книг, стоимость которых от 300 до 500 тенге;

2) отношение количества самых дорогих книг к общему количеству;

3) процент видов книг ценой от 500 тенге и дороже от общего числа.

1) сколько видов книг, стоимость которых от 300 до 500 тенге;

По условию задачи, общее количество видов книг в магазине составляет 60. Чтобы найти количество видов книг в ценовой категории "от 300 до 500 тенге", необходимо из общего количества видов книг вычесть сумму известных количеств из других категорий.

Найдем сумму известных количеств видов книг: $7 + 8 + 20 + 5 = 40$

Теперь вычтем эту сумму из общего количества видов книг: $60 - 40 = 20$

Следовательно, 20 видов книг имеют стоимость от 300 до 500 тенге.

Ответ: 20.

2) отношение количества самых дорогих книг к общему количеству;

Самые дорогие книги находятся в ценовой категории "более 600" тенге. Согласно таблице, их количество составляет 5 видов.

Общее количество видов книг в магазине — 60.

Отношение количества самых дорогих книг к общему количеству равно частному от деления количества самых дорогих книг на общее количество: $ \frac{5}{60} $

Сократим полученную дробь: $ \frac{5}{60} = \frac{1}{12} $

Ответ: $ \frac{1}{12} $.

3) процент видов книг ценой от 500 тенге и дороже от общего числа.

Книги ценой от 500 тенге и дороже — это книги из категорий "500-600" и "более 600".

Найдем общее количество видов книг в этих двух категориях: $20 + 5 = 25$

Общее количество видов книг — 60.

Чтобы найти процент, составим пропорцию, где 60 видов — это 100%, а 25 видов — это $x$%. $ x = \frac{25 \times 100\%}{60} $

Выполним вычисления: $ \frac{25 \times 100}{60} = \frac{2500}{60} = \frac{250}{6} = \frac{125}{3} = 41\frac{2}{3}\% $

Ответ: $41\frac{2}{3}\%$.

25.11. Докажите, что если $\alpha$ и $\beta$ — углы I четверти, то верно неравенство:

1) $\sin (\alpha + \beta) < \sin\alpha + \sin\beta;$

2) $\sin (\alpha + \beta) < \cos\alpha + \cos\beta;$

3) $\cos (\alpha - \beta) < \cos\alpha + \sin\beta;$

4) $\tan (\alpha + \beta) > \tan\alpha + \tan\beta.$

По условию, $\alpha$ и $\beta$ — углы I четверти. Это означает, что $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$ и $0 < \beta < \frac{\pi}{2}$.Для таких углов все их основные тригонометрические функции (синус, косинус, тангенс) положительны.Также из этих условий следует, что $0 < \sin\alpha < 1$, $0 < \cos\alpha < 1$, $0 < \sin\beta < 1$, $0 < \cos\beta < 1$.

1) $\sin(\alpha + \beta) < \sin\alpha + \sin\beta$

Распишем левую часть по формуле синуса суммы:

$\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha \cos\beta + \cos\alpha \sin\beta$.

Так как $\beta$ — угол I четверти, то $0 < \cos\beta < 1$. Умножив это неравенство на положительное число $\sin\alpha$, получим:

$\sin\alpha \cos\beta < \sin\alpha \cdot 1$, то есть $\sin\alpha \cos\beta < \sin\alpha$.

Аналогично, так как $\alpha$ — угол I четверти, то $0 < \cos\alpha < 1$. Умножив это неравенство на положительное число $\sin\beta$, получим:

$\cos\alpha \sin\beta < 1 \cdot \sin\beta$, то есть $\cos\alpha \sin\beta < \sin\beta$.

Сложив два полученных неравенства, имеем:

$\sin\alpha \cos\beta + \cos\alpha \sin\beta < \sin\alpha + \sin\beta$.

Следовательно, $\sin(\alpha + \beta) < \sin\alpha + \sin\beta$, что и требовалось доказать.

Ответ: Неравенство доказано.

2) $\sin(\alpha + \beta) < \cos\alpha + \cos\beta$

Снова используем формулу синуса суммы: $\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha \cos\beta + \cos\alpha \sin\beta$.

Так как $\alpha$ — угол I четверти, то $0 < \sin\alpha < 1$. Умножив это неравенство на положительное число $\cos\beta$, получим:

$\sin\alpha \cos\beta < 1 \cdot \cos\beta$, то есть $\sin\alpha \cos\beta < \cos\beta$.

Аналогично, так как $\beta$ — угол I четверти, то $0 < \sin\beta < 1$. Умножив это неравенство на положительное число $\cos\alpha$, получим:

$\cos\alpha \sin\beta < \cos\alpha \cdot 1$, то есть $\cos\alpha \sin\beta < \cos\alpha$.

Сложив эти два неравенства, получаем:

$\sin\alpha \cos\beta + \cos\alpha \sin\beta < \cos\beta + \cos\alpha$.

Следовательно, $\sin(\alpha + \beta) < \cos\alpha + \cos\beta$, что и требовалось доказать.

Ответ: Неравенство доказано.

3) $\cos(\alpha - \beta) < \cos\alpha + \sin\beta$

Распишем левую часть по формуле косинуса разности:

$\cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha \cos\beta + \sin\alpha \sin\beta$.

Так как $\beta$ — угол I четверти, $0 < \cos\beta < 1$. Умножив на $\cos\alpha > 0$, имеем:

$\cos\alpha \cos\beta < \cos\alpha \cdot 1$, то есть $\cos\alpha \cos\beta < \cos\alpha$.

Так как $\alpha$ — угол I четверти, $0 < \sin\alpha < 1$. Умножив на $\sin\beta > 0$, имеем:

$\sin\alpha \sin\beta < 1 \cdot \sin\beta$, то есть $\sin\alpha \sin\beta < \sin\beta$.

Складывая полученные неравенства, получаем:

$\cos\alpha \cos\beta + \sin\alpha \sin\beta < \cos\alpha + \sin\beta$.

Следовательно, $\cos(\alpha - \beta) < \cos\alpha + \sin\beta$, что и требовалось доказать.

Ответ: Неравенство доказано.

4) $\tan(\alpha + \beta) > \tan\alpha + \tan\beta$

Заметим, что данное неравенство в общем виде неверно для любых углов $\alpha$ и $\beta$ из I четверти. Например, если взять $\alpha = \frac{\pi}{3}$ и $\beta = \frac{\pi}{3}$, то оба угла находятся в I четверти. Их сумма $\alpha + \beta = \frac{2\pi}{3}$ находится во II четверти.

Левая часть неравенства: $\tan(\alpha + \beta) = \tan(\frac{2\pi}{3}) = -\sqrt{3}$.

Правая часть неравенства: $\tan\alpha + \tan\beta = \tan(\frac{\pi}{3}) + \tan(\frac{\pi}{3}) = \sqrt{3} + \sqrt{3} = 2\sqrt{3}$.

Неравенство $-\sqrt{3} > 2\sqrt{3}$ является ложным.

Утверждение становится верным, если добавить условие, что сумма углов также находится в I четверти, то есть $\alpha + \beta < \frac{\pi}{2}$. Докажем неравенство при этом дополнительном условии.

Используем формулу тангенса суммы: $\tan(\alpha + \beta) = \frac{\tan\alpha + \tan\beta}{1 - \tan\alpha \tan\beta}$.

Неравенство принимает вид: $\frac{\tan\alpha + \tan\beta}{1 - \tan\alpha \tan\beta} > \tan\alpha + \tan\beta$.

Поскольку $\alpha$ и $\beta$ — углы I четверти, $\tan\alpha > 0$ и $\tan\beta > 0$, следовательно, их сумма $\tan\alpha + \tan\beta > 0$. Мы можем разделить обе части неравенства на это положительное число:

$\frac{1}{1 - \tan\alpha \tan\beta} > 1$.

Так как $\alpha + \beta < \frac{\pi}{2}$, то $\tan(\alpha + \beta) > 0$. Из формулы тангенса суммы следует, что раз числитель $\tan\alpha + \tan\beta$ положителен, то и знаменатель $1 - \tan\alpha \tan\beta$ должен быть положителен.

Итак, $1 - \tan\alpha \tan\beta > 0$. Умножим обе части неравенства $\frac{1}{1 - \tan\alpha \tan\beta} > 1$ на этот положительный знаменатель:

$1 > 1 - \tan\alpha \tan\beta$.

Перенеся 1 в левую часть, получаем: $0 > - \tan\alpha \tan\beta$, что эквивалентно $\tan\alpha \tan\beta > 0$.

Это неравенство истинно, так как тангенсы углов I четверти положительны. Таким образом, исходное неравенство доказано при условии $\alpha + \beta < \frac{\pi}{2}$.

Ответ: Неравенство верно только при дополнительном условии $\alpha + \beta < \frac{\pi}{2}$. При этом условии оно доказано.

25.12. Упростите выражение:

1) $(\operatorname{tg}\alpha - 1) \cdot \operatorname{tg}\beta + (\operatorname{tg}\alpha + \operatorname{tg}\beta) \cdot \operatorname{ctg}(\alpha + \beta);$

2) $1 - \frac{\operatorname{tg}(\alpha + \beta) - \operatorname{tg}\alpha - \operatorname{tg}\beta}{\operatorname{tg}\alpha \cdot \operatorname{tg}(\alpha + \beta)}.$

1) Упростим выражение $(\tg\alpha - 1) \cdot \tg\beta + (\tg\alpha + \tg\beta) \cdot \ctg(\alpha + \beta)$.
Сначала раскроем скобки в первом слагаемом:
$(\tg\alpha - 1) \cdot \tg\beta = \tg\alpha \tg\beta - \tg\beta$.
Далее преобразуем второе слагаемое. Воспользуемся формулой котангенса суммы, выраженной через тангенсы: $\ctg(\alpha + \beta) = \frac{1 - \tg\alpha \tg\beta}{\tg\alpha + \tg\beta}$.
Подставим это выражение во второе слагаемое:
$(\tg\alpha + \tg\beta) \cdot \frac{1 - \tg\alpha \tg\beta}{\tg\alpha + \tg\beta} = 1 - \tg\alpha \tg\beta$.
Теперь сложим обе преобразованные части:
$(\tg\alpha \tg\beta - \tg\beta) + (1 - \tg\alpha \tg\beta) = \tg\alpha \tg\beta - \tg\beta + 1 - \tg\alpha \tg\beta = 1 - \tg\beta$.
Ответ: $1 - \tg\beta$.

2) Упростим выражение $1 - \frac{\tg(\alpha + \beta) - \tg\alpha - \tg\beta}{\tg\alpha \cdot \tg(\alpha + \beta)}$.
Рассмотрим дробь. Преобразуем ее числитель, $\tg(\alpha + \beta) - \tg\alpha - \tg\beta$, который можно записать как $\tg(\alpha + \beta) - (\tg\alpha + \tg\beta)$.
Воспользуемся формулой тангенса суммы: $\tg(\alpha + \beta) = \frac{\tg\alpha + \tg\beta}{1 - \tg\alpha \tg\beta}$.
Из этой формулы выразим сумму тангенсов: $\tg\alpha + \tg\beta = \tg(\alpha + \beta)(1 - \tg\alpha \tg\beta)$.
Подставим это выражение в числитель:
$\tg(\alpha + \beta) - \tg(\alpha + \beta)(1 - \tg\alpha \tg\beta)$.
Вынесем общий множитель $\tg(\alpha + \beta)$ за скобки:
$\tg(\alpha + \beta)[1 - (1 - \tg\alpha \tg\beta)] = \tg(\alpha + \beta)(1 - 1 + \tg\alpha \tg\beta) = \tg(\alpha + \beta) \cdot \tg\alpha \tg\beta$.
Теперь подставим упрощенный числитель обратно в дробь:
$\frac{\tg(\alpha + \beta) \cdot \tg\alpha \tg\beta}{\tg\alpha \cdot \tg(\alpha + \beta)}$.
После сокращения на $\tg\alpha \cdot \tg(\alpha + \beta)$ (при условии, что эти выражения не равны нулю), дробь становится равной $\tg\beta$.
Таким образом, исходное выражение принимает вид: $1 - \tg\beta$.
Ответ: $1 - \tg\beta$.

25.13. Известно, что $ \text{tg}\alpha = \frac{3}{8} $, $ \text{tg}\beta = \frac{5}{11} $, где $\alpha$ и $\beta$ — углы первой четверти. Докажите, что $\alpha + \beta = 45^\circ$.

Для доказательства того, что $α + β = 45°$, найдем тангенс суммы этих углов, используя формулу тангенса суммы:

$\tg(α + β) = \frac{\tgα + \tgβ}{1 - \tgα \cdot \tgβ}$

По условию задачи нам даны значения $\tgα = \frac{3}{8}$ и $\tgβ = \frac{5}{11}$. Подставим эти значения в формулу:

$\tg(α + β) = \frac{\frac{3}{8} + \frac{5}{11}}{1 - \frac{3}{8} \cdot \frac{5}{11}}$

Выполним вычисления в числителе и знаменателе дроби.

Вычисление числителя:

$\frac{3}{8} + \frac{5}{11} = \frac{3 \cdot 11 + 5 \cdot 8}{8 \cdot 11} = \frac{33 + 40}{88} = \frac{73}{88}$

Вычисление знаменателя:

$1 - \frac{3}{8} \cdot \frac{5}{11} = 1 - \frac{15}{88} = \frac{88}{88} - \frac{15}{88} = \frac{73}{88}$

Теперь подставим полученные значения обратно в формулу для тангенса суммы:

$\tg(α + β) = \frac{\frac{73}{88}}{\frac{73}{88}} = 1$

Мы получили, что тангенс суммы углов $α$ и $β$ равен 1. По условию, углы $α$ и $β$ находятся в первой четверти, что означает $0° < α < 90°$ и $0° < β < 90°$.

Сложив эти неравенства, получим оценку для суммы углов: $0° < α + β < 180°$.

Единственный угол в интервале от $0°$ до $180°$, тангенс которого равен 1, это угол $45°$.

Следовательно, мы доказали, что $α + β = 45°$, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

25.14. Докажите тождество:

1) $\frac{\operatorname{tg} 4 \beta-\operatorname{tg} 3 \beta}{1+\operatorname{tg} 4 \beta \cdot \operatorname{tg} 3 \beta}=\operatorname{tg}(\beta-5 \pi)$;

2) $\frac{\operatorname{tg}^{2} 2 \beta-\operatorname{tg}^{2} \beta}{1-\operatorname{tg}^{2} 2 \beta \cdot \operatorname{tg}^{2} \beta}=\operatorname{tg} \beta \cdot \operatorname{tg} 3 \beta$.

1) Докажем тождество: $ \frac{\text{tg}4\beta - \text{tg}3\beta}{1 + \text{tg}4\beta \cdot \text{tg}3\beta} = \text{tg}(\beta - 5\pi) $.

Преобразуем левую часть равенства. Выражение в левой части соответствует формуле тангенса разности двух углов: $ \text{tg}(\alpha - \gamma) = \frac{\text{tg}\alpha - \text{tg}\gamma}{1 + \text{tg}\alpha \cdot \text{tg}\gamma} $.

В данном случае, пусть $ \alpha = 4\beta $ и $ \gamma = 3\beta $. Тогда левая часть принимает вид:

$ \frac{\text{tg}4\beta - \text{tg}3\beta}{1 + \text{tg}4\beta \cdot \text{tg}3\beta} = \text{tg}(4\beta - 3\beta) = \text{tg}\beta $.

Теперь преобразуем правую часть равенства. Используем свойство периодичности функции тангенса, период которой равен $ \pi $. Это означает, что $ \text{tg}(x + k\pi) = \text{tg}x $ для любого целого числа $ k $.

В нашем случае $ k = -5 $, поэтому:

$ \text{tg}(\beta - 5\pi) = \text{tg}\beta $.

Так как левая часть равна $ \text{tg}\beta $ и правая часть равна $ \text{tg}\beta $, тождество доказано.

Ответ: тождество доказано.

2) Докажем тождество: $ \frac{\text{tg}^2 2\beta - \text{tg}^2 \beta}{1 - \text{tg}^2 2\beta \cdot \text{tg}^2 \beta} = \text{tg}\beta \cdot \text{tg}3\beta $.

Преобразуем левую часть равенства. Применим формулу разности квадратов $ a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) $ к числителю и знаменателю дроби.

$ \frac{\text{tg}^2 2\beta - \text{tg}^2 \beta}{1 - \text{tg}^2 2\beta \cdot \text{tg}^2 \beta} = \frac{(\text{tg}2\beta - \text{tg}\beta)(\text{tg}2\beta + \text{tg}\beta)}{(1 - \text{tg}2\beta \cdot \text{tg}\beta)(1 + \text{tg}2\beta \cdot \text{tg}\beta)} $.

Сгруппируем множители следующим образом:

$ \left(\frac{\text{tg}2\beta - \text{tg}\beta}{1 + \text{tg}2\beta \cdot \text{tg}\beta}\right) \cdot \left(\frac{\text{tg}2\beta + \text{tg}\beta}{1 - \text{tg}2\beta \cdot \text{tg}\beta}\right) $.

Первый множитель представляет собой формулу тангенса разности углов:

$ \frac{\text{tg}2\beta - \text{tg}\beta}{1 + \text{tg}2\beta \cdot \text{tg}\beta} = \text{tg}(2\beta - \beta) = \text{tg}\beta $.

Второй множитель представляет собой формулу тангенса суммы углов:

$ \frac{\text{tg}2\beta + \text{tg}\beta}{1 - \text{tg}2\beta \cdot \text{tg}\beta} = \text{tg}(2\beta + \beta) = \text{tg}3\beta $.

Перемножая результаты, получаем:

$ \text{tg}\beta \cdot \text{tg}3\beta $.

Полученное выражение равно правой части исходного равенства, следовательно, тождество доказано.

Ответ: тождество доказано.

25.15. Найдите множество значений выражения:

1) $sin\alpha + 2cos\alpha$;

2) $3sin\alpha - cos\alpha$;

3) $\sqrt{3} cos\gamma + sin\gamma$;

4) $sin\beta - \sqrt{3} cos\beta$;

5) $5sin\alpha - 4cos\alpha$;

6) $cos\gamma + 3sin\gamma$.

Для нахождения множества значений выражений вида $a \cdot \sin(x) + b \cdot \cos(x)$ используется метод введения вспомогательного угла. Этот метод заключается в преобразовании выражения к виду $R \sin(x+\phi)$ или $R \cos(x-\phi)$, где амплитуда $R = \sqrt{a^2+b^2}$. Преобразование основано на вынесении $R$ за скобки: $a \sin x + b \cos x = \sqrt{a^2+b^2} \left( \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\sin x + \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\cos x \right)$. Выражения в скобках можно представить как синус и косинус некоторого угла $\phi$, что позволяет применить формулу синуса или косинуса суммы/разности. Так как множество значений синуса (или косинуса) – это отрезок $[-1, 1]$, то множество значений исходного выражения равно отрезку $[-R, R]$, то есть $[-\sqrt{a^2+b^2}, \sqrt{a^2+b^2}]$.

1) $\sin\alpha + 2\cos\alpha$

В данном выражении коэффициенты при синусе и косинусе равны $a=1$ и $b=2$. Амплитуда $R$ вычисляется по формуле $R = \sqrt{a^2+b^2}$. Подставив значения, получим $R = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{1+4} = \sqrt{5}$. Таким образом, наименьшее значение выражения равно $-\sqrt{5}$, а наибольшее — $\sqrt{5}$. Множество значений — это отрезок от минимального до максимального значения.

Ответ: $[-\sqrt{5}, \sqrt{5}]$

2) $3\sin\alpha - \cos\alpha$

В этом выражении коэффициенты $a=3$ и $b=-1$. Вычислим амплитуду $R = \sqrt{a^2+b^2} = \sqrt{3^2 + (-1)^2} = \sqrt{9+1} = \sqrt{10}$. Множество значений выражения — это отрезок $[-R, R]$.

Ответ: $[-\sqrt{10}, \sqrt{10}]$

3) $\sqrt{3}\cos\gamma + \sin\gamma$

Перепишем выражение в стандартном виде: $1 \cdot \sin\gamma + \sqrt{3} \cdot \cos\gamma$. Здесь коэффициенты $a=1$ и $b=\sqrt{3}$. Вычислим амплитуду $R = \sqrt{a^2+b^2} = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1+3} = \sqrt{4} = 2$. Множество значений выражения — это отрезок $[-R, R]$.

Ответ: $[-2, 2]$

4) $\sin\beta - \sqrt{3}\cos\beta$

В данном выражении коэффициенты $a=1$ и $b=-\sqrt{3}$. Вычислим амплитуду $R = \sqrt{a^2+b^2} = \sqrt{1^2 + (-\sqrt{3})^2} = \sqrt{1+3} = \sqrt{4} = 2$. Множество значений выражения — это отрезок $[-R, R]$.

Ответ: $[-2, 2]$

5) $5\sin\alpha - 4\cos\alpha$

Здесь коэффициенты $a=5$ и $b=-4$. Вычислим амплитуду $R = \sqrt{a^2+b^2} = \sqrt{5^2 + (-4)^2} = \sqrt{25+16} = \sqrt{41}$. Множество значений выражения — это отрезок $[-R, R]$.

Ответ: $[-\sqrt{41}, \sqrt{41}]$

6) $\cos\gamma + 3\sin\gamma$

Перепишем выражение в стандартном виде: $3 \cdot \sin\gamma + 1 \cdot \cos\gamma$. Здесь коэффициенты $a=3$ и $b=1$. Вычислим амплитуду $R = \sqrt{a^2+b^2} = \sqrt{3^2 + 1^2} = \sqrt{9+1} = \sqrt{10}$. Множество значений выражения — это отрезок $[-R, R]$.

Ответ: $[-\sqrt{10}, \sqrt{10}]$

25.16. Значения синусов двух острых углов треугольника равны 0,6 и 0,8. Найдите косинус третьего угла этого треугольника.

Пусть углы треугольника равны $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$. По свойству углов треугольника их сумма составляет $180^\circ$, то есть $\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ$.

Из условия задачи нам известны синусы двух острых углов. Пусть это будут углы $\alpha$ и $\beta$: $\sin(\alpha) = 0,6$ и $\sin(\beta) = 0,8$.

Требуется найти косинус третьего угла, $\cos(\gamma)$. Выразим третий угол $\gamma$ через два других: $\gamma = 180^\circ - (\alpha + \beta)$.

Теперь найдем косинус угла $\gamma$, используя формулу приведения для косинуса: $\cos(\gamma) = \cos(180^\circ - (\alpha + \beta)) = -\cos(\alpha + \beta)$.

Чтобы найти $\cos(\alpha + \beta)$, применим формулу косинуса суммы двух углов: $\cos(\alpha + \beta) = \cos(\alpha)\cos(\beta) - \sin(\alpha)\sin(\beta)$.

Нам необходимо найти значения $\cos(\alpha)$ и $\cos(\beta)$. Для этого воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1$. Отсюда $\cos(x) = \pm\sqrt{1 - \sin^2(x)}$. Поскольку углы $\alpha$ и $\beta$ по условию острые (находятся в первой четверти), их косинусы положительны.

Вычислим $\cos(\alpha)$: $\cos(\alpha) = \sqrt{1 - \sin^2(\alpha)} = \sqrt{1 - (0,6)^2} = \sqrt{1 - 0,36} = \sqrt{0,64} = 0,8$.

Вычислим $\cos(\beta)$: $\cos(\beta) = \sqrt{1 - \sin^2(\beta)} = \sqrt{1 - (0,8)^2} = \sqrt{1 - 0,64} = \sqrt{0,36} = 0,6$.

Теперь мы можем подставить все известные значения в формулу для $\cos(\alpha + \beta)$: $\cos(\alpha + \beta) = (0,8) \cdot (0,6) - (0,6) \cdot (0,8) = 0,48 - 0,48 = 0$.

Наконец, находим искомый косинус третьего угла $\gamma$: $\cos(\gamma) = -\cos(\alpha + \beta) = -0 = 0$.

Так как $\cos(\gamma) = 0$, это означает, что угол $\gamma = 90^\circ$, и данный треугольник является прямоугольным.

Ответ: $0$.

25.17. Решите неравенство:

1) $x^2 + 3|x| - 18 \ge 0;$

2) $x^2 - 2|x - 2| - 9 \le 0.$

1) Решим неравенство $x^2 + 3|x| - 18 \geq 0$.

Так как $x^2 = |x|^2$ для любого действительного числа $x$, мы можем переписать неравенство в виде:$|x|^2 + 3|x| - 18 \geq 0$.

Сделаем замену переменной. Пусть $t = |x|$. Поскольку модуль любого числа неотрицателен, то $t \geq 0$.С новой переменной неравенство принимает вид квадратного неравенства:$t^2 + 3t - 18 \geq 0$.

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $t^2 + 3t - 18 = 0$.Используя теорему Виета, получаем корни:$t_1 = -6$ и $t_2 = 3$.

Парабола $y = t^2 + 3t - 18$ ветвями направлена вверх, поэтому неравенство $t^2 + 3t - 18 \geq 0$ выполняется, когда $t$ находится вне интервала между корнями, то есть $t \leq -6$ или $t \geq 3$.

Теперь учтем условие $t \geq 0$:
1. Система $\begin{cases} t \leq -6 \\ t \geq 0 \end{cases}$ не имеет решений.
2. Система $\begin{cases} t \geq 3 \\ t \geq 0 \end{cases}$ дает решение $t \geq 3$.

Таким образом, единственное решение для $t$ — это $t \geq 3$.

Вернемся к исходной переменной $x$:$|x| \geq 3$.

Это неравенство равносильно совокупности двух неравенств:$x \geq 3$ или $x \leq -3$.

Решением является объединение этих промежутков.

Ответ: $x \in (-\infty, -3] \cup [3, \infty)$.

2) Решим неравенство $x^2 - 2|x - 2| - 9 \leq 0$.

Для решения этого неравенства раскроем модуль, рассмотрев два случая.

Случай 1: Выражение под модулем неотрицательно.$x - 2 \geq 0 \implies x \geq 2$.В этом случае $|x - 2| = x - 2$. Неравенство принимает вид:$x^2 - 2(x - 2) - 9 \leq 0$$x^2 - 2x + 4 - 9 \leq 0$$x^2 - 2x - 5 \leq 0$

Найдем корни уравнения $x^2 - 2x - 5 = 0$ с помощью дискриминанта:$D = (-2)^2 - 4(1)(-5) = 4 + 20 = 24$.Корни: $x_{1,2} = \frac{2 \pm \sqrt{24}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{6}}{2} = 1 \pm \sqrt{6}$.

Парабола $y = x^2 - 2x - 5$ ветвями направлена вверх, значит, решение неравенства $x^2 - 2x - 5 \leq 0$ находится между корнями: $1 - \sqrt{6} \leq x \leq 1 + \sqrt{6}$.

Теперь найдем пересечение этого решения с условием данного случая $x \geq 2$.Так как $2 < \sqrt{6} < 3$, то $1+\sqrt{6} \approx 1+2.45 = 3.45 > 2$, а $1-\sqrt{6} \approx 1-2.45 = -1.45 < 2$.Пересечением множеств $[1 - \sqrt{6}, 1 + \sqrt{6}]$ и $[2, +\infty)$ является промежуток $[2, 1 + \sqrt{6}]$.

Случай 2: Выражение под модулем отрицательно.$x - 2 < 0 \implies x < 2$.В этом случае $|x - 2| = -(x - 2) = 2 - x$. Неравенство принимает вид:$x^2 - 2(2 - x) - 9 \leq 0$$x^2 - 4 + 2x - 9 \leq 0$$x^2 + 2x - 13 \leq 0$

Найдем корни уравнения $x^2 + 2x - 13 = 0$:$D = 2^2 - 4(1)(-13) = 4 + 52 = 56$.Корни: $x_{3,4} = \frac{-2 \pm \sqrt{56}}{2} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{14}}{2} = -1 \pm \sqrt{14}$.

Решение неравенства $x^2 + 2x - 13 \leq 0$: $-1 - \sqrt{14} \leq x \leq -1 + \sqrt{14}$.

Найдем пересечение этого решения с условием $x < 2$.Так как $3 < \sqrt{14} < 4$, то $-1 + \sqrt{14} \approx -1+3.74 = 2.74 > 2$.Пересечением множеств $[-1 - \sqrt{14}, -1 + \sqrt{14}]$ и $(-\infty, 2)$ является промежуток $[-1 - \sqrt{14}, 2)$.

Объединим решения, полученные в обоих случаях:$[2, 1 + \sqrt{6}] \cup [-1 - \sqrt{14}, 2) = [-1 - \sqrt{14}, 1 + \sqrt{6}]$.

Ответ: $x \in [-1 - \sqrt{14}, 1 + \sqrt{6}]$.

25.18. Постройте график функции и укажите множество значений:

1) $y = x^2 + 3|x|$;

2) $y = -x^2 + 2|x|$;

3) $y = 2x^2 - 3|x - 1|$;

4) $y = -2x^2 + |x + 1|$.

1) $y = x^2 + 3|x|$

Данная функция является четной, так как $y(-x) = (-x)^2 + 3|-x| = x^2 + 3|x| = y(x)$. Это означает, что ее график симметричен относительно оси ординат (оси $Oy$).

Рассмотрим функцию для $x \ge 0$. В этом случае $|x| = x$, и функция принимает вид: $y = x^2 + 3x$.

Это парабола, ветви которой направлены вверх. Найдем координаты ее вершины: $x_v = \frac{-b}{2a} = \frac{-3}{2 \cdot 1} = -1.5$. Эта точка не принадлежит промежутку $x \ge 0$. На промежутке $[0, +\infty)$ функция $y = x^2 + 3x$ возрастает. Минимальное значение на этом промежутке достигается в точке $x=0$, $y(0) = 0^2 + 3 \cdot 0 = 0$.

Таким образом, для $x \ge 0$ мы строим часть параболы $y = x^2 + 3x$, которая начинается в точке $(0,0)$ и идет вверх. Затем мы отражаем эту часть графика симметрично относительно оси $Oy$, чтобы получить график для $x < 0$. Итоговый график состоит из двух ветвей парабол, соединяющихся в точке $(0,0)$, которая является точкой минимума функции.

График функции:

Из графика видно, что минимальное значение функции равно 0, а максимального значения не существует, так как ветви уходят в бесконечность. Следовательно, множество значений функции — это все неотрицательные числа.

Ответ: множество значений $E(y) = [0, +\infty)$.

2) $y = -x^2 + 2|x|$

Данная функция является четной, так как $y(-x) = -(-x)^2 + 2|-x| = -x^2 + 2|x| = y(x)$. График функции симметричен относительно оси $Oy$.

Рассмотрим функцию для $x \ge 0$. В этом случае $|x| = x$, и функция принимает вид: $y = -x^2 + 2x$.

Это парабола, ветви которой направлены вниз. Найдем координаты ее вершины: $x_v = \frac{-b}{2a} = \frac{-2}{2 \cdot (-1)} = 1$. Эта точка принадлежит промежутку $x \ge 0$. Значение функции в вершине: $y_v = y(1) = -1^2 + 2 \cdot 1 = 1$. Таким образом, точка $(1,1)$ является вершиной параболы и точкой максимума для $x \ge 0$.

Для построения графика мы строим часть параболы $y = -x^2 + 2x$ для $x \ge 0$. Она начинается в точке $(0,0)$, достигает максимума в точке $(1,1)$, пересекает ось $Ox$ в точке $(2,0)$ и уходит вниз. Затем отражаем эту часть графика симметрично относительно оси $Oy$. Полученный график будет иметь два максимума в точках $(1,1)$ и $(-1,1)$.

График функции:

Из графика видно, что максимальное значение функции равно 1, а минимального значения не существует. Следовательно, множество значений функции — это все числа, не превосходящие 1.

Ответ: множество значений $E(y) = (-\infty, 1]$.

3) $y = 2x^2 - 3|x-1|$

Раскроем модуль, рассмотрев два случая.

Случай 1: $x - 1 \ge 0$, то есть $x \ge 1$. Тогда $|x-1| = x-1$.$y = 2x^2 - 3(x-1) = 2x^2 - 3x + 3$.Это парабола с ветвями вверх. Вершина: $x_v = \frac{-(-3)}{2 \cdot 2} = \frac{3}{4} = 0.75$. Эта точка не входит в промежуток $x \ge 1$. На этом промежутке функция возрастает. В точке $x=1$ значение функции $y(1) = 2(1)^2 - 3(1) + 3 = 2$.

Случай 2: $x - 1 < 0$, то есть $x < 1$. Тогда $|x-1| = -(x-1) = 1-x$.$y = 2x^2 - 3(1-x) = 2x^2 + 3x - 3$.Это парабола с ветвями вверх. Вершина: $x_v = \frac{-3}{2 \cdot 2} = -\frac{3}{4} = -0.75$. Эта точка входит в промежуток $x < 1$. Это точка минимума.$y_v = y(-0.75) = 2(-0.75)^2 + 3(-0.75) - 3 = 2(\frac{9}{16}) - \frac{9}{4} - 3 = \frac{9}{8} - \frac{18}{8} - \frac{24}{8} = -\frac{33}{8} = -4.125$.

График состоит из двух частей парабол, стыкующихся в точке $(1, 2)$. Общий минимум функции достигается в вершине второй параболы.

График функции:

Минимальное значение функции равно $-4.125$. Максимального значения не существует.

Ответ: множество значений $E(y) = [-4.125, +\infty)$.

4) $y = -2x^2 + |x+1|$

Раскроем модуль, рассмотрев два случая.

Случай 1: $x + 1 \ge 0$, то есть $x \ge -1$. Тогда $|x+1| = x+1$.$y = -2x^2 + (x+1) = -2x^2 + x + 1$.Это парабола с ветвями вниз. Вершина: $x_v = \frac{-1}{2 \cdot (-2)} = \frac{1}{4} = 0.25$. Эта точка входит в промежуток $x \ge -1$. Это точка максимума.$y_v = y(0.25) = -2(0.25)^2 + 0.25 + 1 = -2(\frac{1}{16}) + \frac{1}{4} + 1 = -\frac{1}{8} + \frac{2}{8} + \frac{8}{8} = \frac{9}{8} = 1.125$.

Случай 2: $x + 1 < 0$, то есть $x < -1$. Тогда $|x+1| = -(x+1)$.$y = -2x^2 - (x+1) = -2x^2 - x - 1$.Это парабола с ветвями вниз. Вершина: $x_v = \frac{-(-1)}{2 \cdot (-2)} = -\frac{1}{4} = -0.25$. Эта точка не входит в промежуток $x < -1$. На этом промежутке функция возрастает до точки $x=-1$. В точке $x=-1$ значение функции $y(-1) = -2(-1)^2 - (-1) - 1 = -2$.

График состоит из двух частей парабол, стыкующихся в точке $(-1, -2)$. Общий максимум функции достигается в вершине первой параболы.

График функции:

Максимальное значение функции равно $1.125$. Минимального значения не существует.

Ответ: множество значений $E(y) = (-\infty, 1.125]$.

25.19. Докажите тождество:

1) $\sin(\alpha - \beta) + \sin(-\alpha)\cos(-\beta) = \cos\alpha\sin(-\beta);$

2) $\cos(\alpha - \beta) + \cos(\alpha + \beta) = 2\cos\alpha\cos(-\beta);$

3) $\sin(\alpha - \beta) + \sin(\alpha + \beta) = -2\sin(-\alpha)\cos(-\beta);$

4) $\sin(\beta - \alpha)\sin(\alpha + \beta) = \sin^2\beta - \sin^2\alpha.$

1) Для доказательства тождества $sin(a - \beta) + sin(-a)cos(-\beta) = cos(a)sin(-\beta)$ преобразуем обе его части, используя тригонометрические формулы.

Начнем с левой части (ЛЧ): $sin(a - \beta) + sin(-a)cos(-\beta)$.

Используем формулу синуса разности: $sin(a - \beta) = sin(a)cos(\beta) - cos(a)sin(\beta)$.

Также используем свойства четности и нечетности тригонометрических функций: $sin(-a) = -sin(a)$ (синус — нечетная функция) и $cos(-\beta) = cos(\beta)$ (косинус — четная функция).

Подставим эти выражения в левую часть:

ЛЧ = $(sin(a)cos(\beta) - cos(a)sin(\beta)) + (-sin(a))cos(\beta)$

Упростим выражение:

ЛЧ = $sin(a)cos(\beta) - cos(a)sin(\beta) - sin(a)cos(\beta)$

Сократим подобные члены $sin(a)cos(\beta)$ и $-sin(a)cos(\beta)$:

ЛЧ = $-cos(a)sin(\beta)$

Теперь преобразуем правую часть (ПЧ): $cos(a)sin(-\beta)$.

Используя свойство нечетности синуса $sin(-\beta) = -sin(\beta)$, получаем:

ПЧ = $cos(a)(-sin(\beta)) = -cos(a)sin(\beta)$

Сравнивая левую и правую части, видим, что ЛЧ = ПЧ, так как обе равны $-cos(a)sin(\beta)$.

Ответ: Тождество доказано.

2) Для доказательства тождества $cos(a - \beta) + cos(a + \beta) = 2cos(a)cos(-\beta)$ преобразуем левую и правую части.

Рассмотрим левую часть (ЛЧ): $cos(a - \beta) + cos(a + \beta)$.

Применим формулу косинуса разности: $cos(a - \beta) = cos(a)cos(\beta) + sin(a)sin(\beta)$.

Применим формулу косинуса суммы: $cos(a + \beta) = cos(a)cos(\beta) - sin(a)sin(\beta)$.

Подставим эти формулы в левую часть:

ЛЧ = $(cos(a)cos(\beta) + sin(a)sin(\beta)) + (cos(a)cos(\beta) - sin(a)sin(\beta))$

Сократим противоположные члены $sin(a)sin(\beta)$ и $-sin(a)sin(\beta)$:

ЛЧ = $cos(a)cos(\beta) + cos(a)cos(\beta) = 2cos(a)cos(\beta)$

Теперь рассмотрим правую часть (ПЧ): $2cos(a)cos(-\beta)$.

Используем свойство четности косинуса $cos(-\beta) = cos(\beta)$:

ПЧ = $2cos(a)cos(\beta)$

Сравнивая левую и правую части, получаем, что ЛЧ = ПЧ.

Ответ: Тождество доказано.

3) Для доказательства тождества $sin(a - \beta) + sin(a + \beta) = -2sin(-a)cos(-\beta)$ преобразуем обе части.

Начнем с левой части (ЛЧ): $sin(a - \beta) + sin(a + \beta)$.

Используем формулу синуса разности: $sin(a - \beta) = sin(a)cos(\beta) - cos(a)sin(\beta)$.

Используем формулу синуса суммы: $sin(a + \beta) = sin(a)cos(\beta) + cos(a)sin(\beta)$.

Подставим эти выражения в левую часть:

ЛЧ = $(sin(a)cos(\beta) - cos(a)sin(\beta)) + (sin(a)cos(\beta) + cos(a)sin(\beta))$

Сократим противоположные члены $-cos(a)sin(\beta)$ и $cos(a)sin(\beta)$:

ЛЧ = $sin(a)cos(\beta) + sin(a)cos(\beta) = 2sin(a)cos(\beta)$

Теперь преобразуем правую часть (ПЧ): $-2sin(-a)cos(-\beta)$.

Используем свойства нечетности синуса $sin(-a) = -sin(a)$ и четности косинуса $cos(-\beta) = cos(\beta)$:

ПЧ = $-2(-sin(a))(cos(\beta))$

Упростим выражение:

ПЧ = $2sin(a)cos(\beta)$

Сравнивая левую и правую части, видим, что ЛЧ = ПЧ.

Ответ: Тождество доказано.

4) Для доказательства тождества $sin(\beta - a)sin(a + \beta) = sin^2\beta - sin^2a$ преобразуем левую часть.

Левая часть (ЛЧ) = $sin(\beta - a)sin(a + \beta)$.

Применим формулу синуса разности: $sin(\beta - a) = sin(\beta)cos(a) - cos(\beta)sin(a)$.

Применим формулу синуса суммы: $sin(a + \beta) = sin(a)cos(\beta) + cos(a)sin(\beta)$. Для удобства переставим слагаемые: $sin(a + \beta) = sin(\beta)cos(a) + cos(\beta)sin(a)$.

Теперь левая часть представляет собой произведение разности и суммы двух выражений, что равно разности их квадратов $(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$:

ЛЧ = $(sin(\beta)cos(a) - cos(\beta)sin(a))(sin(\beta)cos(a) + cos(\beta)sin(a))$

ЛЧ = $(sin(\beta)cos(a))^2 - (cos(\beta)sin(a))^2$

ЛЧ = $sin^2\beta cos^2a - cos^2\beta sin^2a$

Чтобы привести выражение к виду правой части, используем основное тригонометрическое тождество $sin^2x + cos^2x = 1$, откуда $cos^2x = 1 - sin^2x$.

Заменим $cos^2a$ на $1 - sin^2a$ и $cos^2\beta$ на $1 - sin^2\beta$:

ЛЧ = $sin^2\beta (1 - sin^2a) - (1 - sin^2\beta)sin^2a$

Раскроем скобки:

ЛЧ = $sin^2\beta - sin^2\beta sin^2a - (sin^2a - sin^2\beta sin^2a)$

ЛЧ = $sin^2\beta - sin^2\beta sin^2a - sin^2a + sin^2\beta sin^2a$

Сократим подобные члены $-sin^2\beta sin^2a$ и $sin^2\beta sin^2a$:

ЛЧ = $sin^2\beta - sin^2a$

Правая часть (ПЧ) = $sin^2\beta - sin^2a$.

Таким образом, ЛЧ = ПЧ.

Ответ: Тождество доказано.