Номер 6.21, страница 66, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

6.21. Найдите корни уравнения:

1) $x^3 - 2x^2 - 4x = -8;$

2) $x^3 - 5x^2 = 2x - 10;$

3) $x^4 - 2x^2 - 4x^3 = -8x.$

1) $x³ - 2x² - 4x = -8$

Перенесем все слагаемые в левую часть уравнения, чтобы получить уравнение, равное нулю:

$x³ - 2x² - 4x + 8 = 0$

Сгруппируем слагаемые для разложения на множители методом группировки:

$(x³ - 2x²) + (-4x + 8) = 0$

Вынесем общие множители из каждой группы:

$x²(x - 2) - 4(x - 2) = 0$

Теперь вынесем общий множитель $(x - 2)$ за скобки:

$(x - 2)(x² - 4) = 0$

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю. Таким образом, мы имеем два случая:

1. $x - 2 = 0 \implies x = 2$

2. $x² - 4 = 0 \implies x² = 4 \implies x = 2$ или $x = -2$

Объединяя решения, получаем два различных корня.

Ответ: -2; 2.

2) $x³ - 5x² = 2x - 10$

Перенесем все слагаемые в левую часть уравнения:

$x³ - 5x² - 2x + 10 = 0$

Сгруппируем слагаемые:

$(x³ - 5x²) + (-2x + 10) = 0$

Вынесем общие множители из каждой группы:

$x²(x - 5) - 2(x - 5) = 0$

Вынесем общий множитель $(x - 5)$ за скобки:

$(x - 5)(x² - 2) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:

1. $x - 5 = 0 \implies x = 5$

2. $x² - 2 = 0 \implies x² = 2 \implies x = \sqrt{2}$ или $x = -\sqrt{2}$

Таким образом, уравнение имеет три корня.

Ответ: $-\sqrt{2}; \sqrt{2}; 5$.

3) $x⁴ - 2x² - 4x³ = -8x$

Перенесем все слагаемые в левую часть и упорядочим их по убыванию степеней:

$x⁴ - 4x³ - 2x² + 8x = 0$

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(x³ - 4x² - 2x + 8) = 0$

Это уравнение распадается на два:

1. $x = 0$

2. $x³ - 4x² - 2x + 8 = 0$

Решим второе уравнение методом группировки:

$(x³ - 4x²) - (2x - 8) = 0$

$x²(x - 4) - 2(x - 4) = 0$

$(x - 4)(x² - 2) = 0$

Отсюда получаем еще два случая:

a) $x - 4 = 0 \implies x = 4$

b) $x² - 2 = 0 \implies x² = 2 \implies x = \sqrt{2}$ или $x = -\sqrt{2}$

Соберем все найденные корни.

Ответ: $-\sqrt{2}; 0; \sqrt{2}; 4$.