Номер 6.23, страница 66, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

6.23. Постройте график уравнения:

1) $ \frac{2x - y}{x - 1} = 0; $

2) $ \frac{x^2 - y}{x + 1} = 0; $

3) $ \frac{2x + x^2 - y}{x + 1} = 0; $

4) $ \frac{4x - x^2 - y}{x - 1} = 0. $

1) Исходное уравнение $\frac{2x - y}{x - 1} = 0$.

Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Это равносильно системе:

$\begin{cases} 2x - y = 0 \\ x - 1 \ne 0 \end{cases}$

Из этой системы получаем:

$\begin{cases} y = 2x \\ x \ne 1 \end{cases}$

Графиком уравнения является прямая $y = 2x$, из которой исключена точка, для которой $x=1$. Найдем координаты этой точки: если $x=1$, то $y = 2 \cdot 1 = 2$. Таким образом, точка $(1; 2)$ должна быть "выколота" на графике.

Ответ: Прямая $y=2x$ с выколотой точкой $(1; 2)$.

2) Исходное уравнение $\frac{x^2 - y}{x + 1} = 0$.

Уравнение равносильно системе:

$\begin{cases} x^2 - y = 0 \\ x + 1 \ne 0 \end{cases}$

Из этой системы получаем:

$\begin{cases} y = x^2 \\ x \ne -1 \end{cases}$

Графиком уравнения является парабола $y = x^2$, из которой исключена точка, для которой $x=-1$. Найдем координаты этой точки: если $x=-1$, то $y = (-1)^2 = 1$. Таким образом, точка $(-1; 1)$ должна быть "выколота" на графике.

Ответ: Парабола $y=x^2$ с выколотой точкой $(-1; 1)$.

3) Исходное уравнение $\frac{2x + x^2 - y}{x + 1} = 0$.

Уравнение равносильно системе:

$\begin{cases} 2x + x^2 - y = 0 \\ x + 1 \ne 0 \end{cases}$

Из этой системы получаем:

$\begin{cases} y = x^2 + 2x \\ x \ne -1 \end{cases}$

Графиком уравнения является парабола $y = x^2 + 2x$. Для построения найдем вершину параболы: $x_в = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2 \cdot 1} = -1$. $y_в = (-1)^2 + 2(-1) = 1 - 2 = -1$. Вершина находится в точке $(-1; -1)$.

Условие $x \ne -1$ означает, что точка с абсциссой $-1$ должна быть исключена. Эта точка является вершиной параболы. Таким образом, графиком является парабола $y = x^2 + 2x$ с выколотой вершиной $(-1; -1)$.

Ответ: Парабола $y=x^2+2x$ с выколотой точкой (вершиной) $(-1; -1)$.

4) Исходное уравнение $\frac{4x - x^2 - y}{x - 1} = 0$.

Уравнение равносильно системе:

$\begin{cases} 4x - x^2 - y = 0 \\ x - 1 \ne 0 \end{cases}$

Из этой системы получаем:

$\begin{cases} y = -x^2 + 4x \\ x \ne 1 \end{cases}$

Графиком уравнения является парабола $y = -x^2 + 4x$. Ветви параболы направлены вниз. Найдем вершину: $x_в = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2 \cdot (-1)} = 2$. $y_в = -(2)^2 + 4(2) = -4 + 8 = 4$. Вершина находится в точке $(2; 4)$.

Из графика нужно исключить точку, для которой $x=1$. Найдем ее координаты: если $x=1$, то $y = -1^2 + 4(1) = -1 + 4 = 3$. Таким образом, точка $(1; 3)$ должна быть "выколота" на графике.

Ответ: Парабола $y=-x^2+4x$ с выколотой точкой $(1; 3)$.