Номер 6.17, страница 65, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

6.17. Покажите штриховкой множество точек координатной плоскости, заданной системой неравенств:

1) $\begin{cases} y \ge |x|, \\ x + y \le 2; \end{cases}$2) $\begin{cases} y > 3 - |x|, \\ 3x - y \le 4; \end{cases}$3) $\begin{cases} y \ge 2 - |x|, \\ 0.5x + y \le 3; \end{cases}$4) $\begin{cases} y \ge 3 - |x|, \\ 3x - y \le 2. \end{cases}$

1) Решим систему неравенств: $ \begin{cases} y \ge |x| \\ x + y \le 2 \end{cases} $

Первое неравенство, $y \ge |x|$, задает множество точек, расположенных на и выше графика функции $y = |x|$. График $y = |x|$ представляет собой две прямые, $y = x$ при $x \ge 0$ и $y = -x$ при $x < 0$, образующие "галочку" с вершиной в точке (0,0). Так как неравенство нестрогое, граница ($y = |x|$) включается в решение и изображается сплошной линией.

Второе неравенство, $x + y \le 2$, можно переписать как $y \le 2 - x$. Оно задает множество точек, расположенных на и ниже прямой $y = 2 - x$. Эта прямая проходит через точки (0, 2) и (2, 0). Так как неравенство нестрогое, граница ($y = 2 - x$) также включается в решение и изображается сплошной линией.

Решением системы является пересечение этих двух областей: область, которая находится одновременно выше графика $y = |x|$ и ниже прямой $y = 2 - x$.

Найдем точки пересечения границ $y = |x|$ и $y = 2 - x$.
1. При $x \ge 0$: $x = 2 - x \Rightarrow 2x = 2 \Rightarrow x = 1$. Тогда $y = 1$. Точка пересечения (1, 1).
2. При $x < 0$: $-x = 2 - x \Rightarrow 0 = 2$. Это неверное равенство, значит, пересечений при $x < 0$ нет. Прямые $y = -x$ и $y = 2 - x$ параллельны.

Таким образом, искомое множество точек представляет собой неограниченную область, заключенную между лучами $y = x$ (при $x \le 1$) и $y = -x$ и ограниченную сверху прямой $y = 2 - x$. "Вершина" этой области находится в точке (1, 1).

Ответ: Заштрихованная область на графике.

2) Решим систему неравенств: $ \begin{cases} y > 3 - |x| \\ 3x - y \le 4 \end{cases} $

Первое неравенство, $y > 3 - |x|$, задает множество точек, расположенных строго выше графика функции $y = 3 - |x|$. График $y = 3 - |x|$ — это "перевернутая галочка", смещенная на 3 единицы вверх по оси y, с вершиной в точке (0, 3). Так как неравенство строгое, граница ($y = 3-|x|$) не включается в решение и изображается пунктирной линией.

Второе неравенство, $3x - y \le 4$, можно переписать как $y \ge 3x - 4$. Оно задает множество точек, расположенных на и выше прямой $y = 3x - 4$. Прямая проходит через точки (0, -4) и (4/3, 0). Так как неравенство нестрогое, граница ($y = 3x - 4$) включается в решение и изображается сплошной линией.

Решением системы является пересечение этих двух областей: область, которая находится одновременно выше графика $y = 3 - |x|$ и выше прямой $y = 3x - 4$. Это означает, что искомое множество точек лежит выше "верхней огибающей" этих двух графиков.

Найдем точку пересечения границ $y = 3 - x$ (правая ветвь "галочки", $x \ge 0$) и $y = 3x - 4$.
$3 - x = 3x - 4 \Rightarrow 7 = 4x \Rightarrow x = 7/4 = 1.75$.
Тогда $y = 3 - 1.75 = 1.25$. Точка пересечения (1.75, 1.25).
Левая ветвь "галочки" $y = 3 + x$ (при $x<0$) не пересекается с прямой $y = 3x - 4$ в области $x<0$.

Таким образом, граница искомой области состоит из частей двух графиков:

• Лучи $y=3-|x|$ (пунктиром) до точки их пересечения с прямой.
• Луч прямой $y=3x-4$ (сплошной) начиная с точки (1.75, 1.25).

Ответ: Заштрихованная область на графике.

3) Решим систему неравенств: $ \begin{cases} y \ge 2 - |x| \\ 0.5x + y \le 3 \end{cases} $

Первое неравенство, $y \ge 2 - |x|$, задает множество точек на и выше "перевернутой галочки" $y = 2 - |x|$ с вершиной в точке (0, 2). Граница включается в решение и изображается сплошной линией.

Второе неравенство, $0.5x + y \le 3$, можно переписать как $y \le 3 - 0.5x$. Оно задает множество точек на и ниже прямой $y = 3 - 0.5x$. Прямая проходит через точки (0, 3) и (6, 0). Граница также сплошная.

Решением системы является пересечение этих двух областей: область, заключенная между графиком $y = 2 - |x|$ (нижняя граница) и прямой $y = 3 - 0.5x$ (верхняя граница).

Проверим, пересекаются ли графики.
1. При $x \ge 0$: $2 - x = 3 - 0.5x \Rightarrow -1 = 0.5x \Rightarrow x = -2$. Не удовлетворяет условию $x \ge 0$.
2. При $x < 0$: $2 + x = 3 - 0.5x \Rightarrow 1.5x = 1 \Rightarrow x = 2/3$. Не удовлетворяет условию $x < 0$.
Графики не пересекаются. Можно проверить, что прямая $y = 3 - 0.5x$ всегда находится выше графика $y = 2 - |x|$.

Следовательно, решением является неограниченная область (полоса) между графиком $y = 2 - |x|$ и прямой $y = 3 - 0.5x$.

Ответ: Заштрихованная область на графике.

4) Решим систему неравенств: $ \begin{cases} y \ge 3 - |x| \\ 3x - y \le 2 \end{cases} $

Первое неравенство, $y \ge 3 - |x|$, задает множество точек на и выше "перевернутой галочки" $y = 3 - |x|$ с вершиной в точке (0, 3). Граница включается в решение (сплошная линия).

Второе неравенство, $3x - y \le 2$, переписывается как $y \ge 3x - 2$. Оно задает множество точек на и выше прямой $y = 3x - 2$. Прямая проходит через точки (0, -2) и (2/3, 0). Граница также включается в решение (сплошная линия).

Решением системы является пересечение этих областей: точки, находящиеся одновременно выше $y = 3 - |x|$ и выше $y = 3x - 2$. Это область выше верхней огибающей двух графиков.

Найдем точку пересечения границ $y = 3 - x$ (при $x \ge 0$) и $y = 3x - 2$.
$3 - x = 3x - 2 \Rightarrow 5 = 4x \Rightarrow x = 5/4 = 1.25$.
Тогда $y = 3 - 1.25 = 1.75$. Точка пересечения (1.25, 1.75).
Левая ветвь $y = 3+x$ не пересекается с прямой $y = 3x - 2$ при $x<0$.

Граница искомой области — это составная линия, образованная лучами $y = 3+x$ (для $x<0$), отрезком $y = 3-x$ (от $x=0$ до $x=1.25$) и лучом $y = 3x - 2$ (для $x > 1.25$). Решением является неограниченная область выше этой границы.

Ответ: Заштрихованная область на графике.