Номер 6.10, страница 64, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

6.10. Изобразите на координатной плоскости множество точек, заданное системой неравенств:

1)

$\begin{cases} y - x^2 \ge 0, \\ x^2 + y^2 \le 4; \end{cases}$

2)

$\begin{cases} y - 0,5x^2 \le 0, \\ x^2 + y^2 \le 9; \end{cases}$

3)

$\begin{cases} y - x^2 \ge 1, \\ x^2 + y^2 \ge 1; \end{cases}$

4)

$\begin{cases} y - x^2 \ge -2,5, \\ x^2 + y^2 > 16. \end{cases}$

1)

Рассмотрим систему неравенств:$\begin{cases}y - x^2 \ge 0 \\x^2 + y^2 \le 4\end{cases}$

Первое неравенство, $y - x^2 \ge 0$, можно переписать как $y \ge x^2$. Это неравенство задает множество точек, расположенных на и выше параболы $y = x^2$. Ветви параболы направлены вверх, вершина находится в точке $(0, 0)$. Граница ($y = x^2$) включается в решение, так как неравенство нестрогое.

Второе неравенство, $x^2 + y^2 \le 4$, задает множество точек, расположенных на и внутри окружности с центром в начале координат $(0, 0)$ и радиусом $R = \sqrt{4} = 2$. Граница ($x^2 + y^2 = 4$) также включается в решение.

Решением системы является пересечение этих двух множеств, то есть область, которая находится одновременно внутри круга и выше параболы.

Ответ: Искомое множество точек — это область, ограниченная снизу параболой $y = x^2$ и сверху дугой окружности $x^2 + y^2 = 4$, включая границы.

2)

Рассмотрим систему неравенств:$\begin{cases}y - 0,5x^2 \le 0 \\x^2 + y^2 \le 9\end{cases}$

Первое неравенство, $y - 0,5x^2 \le 0$, можно переписать как $y \le 0,5x^2$. Это неравенство задает множество точек, расположенных на и ниже параболы $y = 0,5x^2$. Ветви параболы направлены вверх, вершина находится в точке $(0, 0)$.

Второе неравенство, $x^2 + y^2 \le 9$, задает множество точек, расположенных на и внутри окружности с центром в начале координат $(0, 0)$ и радиусом $R = \sqrt{9} = 3$.

Решением системы является пересечение этих двух множеств, то есть часть круга, расположенная ниже параболы.

Ответ: Искомое множество точек — это область внутри круга $x^2 + y^2 \le 9$, из которой удалена область, лежащая выше параболы $y = 0,5x^2$. Границы области включены в решение.

3)

Рассмотрим систему неравенств:$\begin{cases}y - x^2 \ge 1 \\x^2 + y^2 \ge 1\end{cases}$

Первое неравенство, $y - x^2 \ge 1$, можно переписать как $y \ge x^2 + 1$. Это неравенство задает множество точек, расположенных на и выше параболы $y = x^2 + 1$. Вершина этой параболы находится в точке $(0, 1)$.

Второе неравенство, $x^2 + y^2 \ge 1$, задает множество точек, расположенных на и вне единичной окружности с центром в начале координат $(0, 0)$ и радиусом $R = 1$.

Проанализируем взаимное расположение кривых. Вершина параболы $(0, 1)$ лежит на окружности, так как $0^2 + 1^2 = 1$. Все остальные точки параболы $y = x^2 + 1$ (при $x \ne 0$) лежат вне этой окружности, так как для них $x^2+y^2 = x^2 + (x^2+1)^2 = x^4+3x^2+1 > 1$.Это означает, что любая точка, удовлетворяющая первому неравенству ($y \ge x^2+1$), автоматически удовлетворяет и второму ($x^2+y^2 \ge 1$).Следовательно, решение системы совпадает с решением первого неравенства.

Ответ: Искомое множество точек — это область, расположенная на параболе $y = x^2 + 1$ и выше неё.

4)

Рассмотрим систему неравенств:$\begin{cases}y - x^2 \ge -2,5 \\x^2 + y^2 > 16\end{cases}$

Первое неравенство, $y - x^2 \ge -2,5$, можно переписать как $y \ge x^2 - 2,5$. Это неравенство задает множество точек, расположенных на и выше параболы $y = x^2 - 2,5$. Вершина параболы находится в точке $(0, -2,5)$. Граница является сплошной линией.

Второе неравенство, $x^2 + y^2 > 16$, задает множество точек, расположенных строго вне окружности с центром в начале координат $(0, 0)$ и радиусом $R = \sqrt{16} = 4$. Граница ($x^2 + y^2 = 16$) не включается в решение и изображается пунктирной линией.

Решением системы является пересечение этих двух множеств — то есть точки, которые находятся одновременно вне окружности и выше параболы. Вершина параболы $(0, -2,5)$ лежит внутри круга, так как $0^2+(-2,5)^2=6,25 < 16$. Парабола пересекает окружность. Решением будет вся область вне круга, из которой исключены точки, лежащие ниже параболы.

Ответ: Искомое множество точек — это часть плоскости, находящаяся одновременно вне окружности $x^2 + y^2 = 16$ и выше параболы $y = x^2 - 2,5$. Граница-парабола включается в решение, а граница-окружность — нет.