Номер 6.7, страница 63, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

6.7. На координатной плоскости покажите штриховкой множество точек, координаты которых удовлетворяют системе неравенств:

1) $ \begin{cases} y - x^2 < 0, \\ 2x + y \le 4; \end{cases} $

2) $ \begin{cases} y - 2x^2 < 0, \\ 3x + y \le 3; \end{cases} $

3) $ \begin{cases} 2y - x^2 > 0, \\ 2x^2 + y \le 3; \end{cases} $

4) $ \begin{cases} y - 3x^2 + 1 \ge 0, \\ x^2 + 2y \le 6. \end{cases} $

1)

Рассмотрим систему неравенств: $ \begin{cases} y - x^2 < 0 \\ 2x + y \le 4 \end{cases} $ Преобразуем неравенства, выразив y: $ \begin{cases} y < x^2 \\ y \le -2x + 4 \end{cases} $

Первое неравенство, $y < x^2$, задает множество точек, расположенных ниже параболы $y = x^2$. Так как неравенство строгое, граница (парабола) не включается в решение и изображается пунктирной линией. Вершина параболы находится в точке (0, 0), ветви направлены вверх.

Второе неравенство, $y \le -2x + 4$, задает множество точек, расположенных ниже или на прямой $y = -2x + 4$. Так как неравенство нестрогое, граница (прямая) включается в решение и изображается сплошной линией. Прямая пересекает ось OY в точке (0, 4) и ось OX в точке (2, 0).

Решением системы является пересечение этих двух множеств, то есть область, которая находится одновременно ниже параболы и ниже прямой.

Найдем точки пересечения графиков, решив уравнение $x^2 = -2x + 4$: $x^2 + 2x - 4 = 0$ $x = \frac{-2 \pm \sqrt{4 - 4(1)(-4)}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{20}}{2} = -1 \pm \sqrt{5}$. Точки пересечения: $x_1 = -1 - \sqrt{5} \approx -3.24$ и $x_2 = -1 + \sqrt{5} \approx 1.24$.

Множество точек, удовлетворяющих системе, показано штриховкой на графике.

Ответ: Графическое представление множества точек показано на рисунке выше.

2)

Рассмотрим систему неравенств: $ \begin{cases} y - 2x^2 < 0 \\ 3x + y \le 3 \end{cases} $ Преобразуем неравенства: $ \begin{cases} y < 2x^2 \\ y \le -3x + 3 \end{cases} $

Первое неравенство, $y < 2x^2$, задает область ниже параболы $y = 2x^2$. Граница (парабола) изображается пунктирной линией.

Второе неравенство, $y \le -3x + 3$, задает область ниже или на прямой $y = -3x + 3$. Граница (прямая) изображается сплошной линией. Прямая пересекает ось OY в точке (0, 3) и ось OX в точке (1, 0).

Решением является пересечение этих областей. Найдем точки пересечения графиков: $2x^2 = -3x + 3$ $2x^2 + 3x - 3 = 0$ $x = \frac{-3 \pm \sqrt{9 - 4(2)(-3)}}{4} = \frac{-3 \pm \sqrt{33}}{4}$. Точки пересечения: $x_1 = \frac{-3 - \sqrt{33}}{4} \approx -2.19$ и $x_2 = \frac{-3 + \sqrt{33}}{4} \approx 0.69$.

Множество точек, удовлетворяющих системе, показано штриховкой на графике.

Ответ: Графическое представление множества точек показано на рисунке выше.

3)

Рассмотрим систему неравенств: $ \begin{cases} 2y - x^2 > 0 \\ 2x^2 + y \le 3 \end{cases} $ Преобразуем неравенства: $ \begin{cases} y > \frac{1}{2}x^2 \\ y \le -2x^2 + 3 \end{cases} $

Первое неравенство, $y > \frac{1}{2}x^2$, задает область выше параболы $y = \frac{1}{2}x^2$. Граница (парабола с ветвями вверх) изображается пунктирной линией.

Второе неравенство, $y \le -2x^2 + 3$, задает область ниже или на параболе $y = -2x^2 + 3$. Граница (парабола с ветвями вниз) изображается сплошной линией.

Решением является пересечение этих областей — ограниченная область между двумя параболами. Найдем точки их пересечения: $\frac{1}{2}x^2 = -2x^2 + 3$ $\frac{5}{2}x^2 = 3 \implies x^2 = \frac{6}{5}$ $x = \pm \sqrt{\frac{6}{5}} \approx \pm 1.1$. Соответствующее значение $y = \frac{1}{2} \cdot \frac{6}{5} = \frac{3}{5} = 0.6$.

Искомое множество точек — область, заключенная между параболами, показана штриховкой на графике.

Ответ: Графическое представление множества точек показано на рисунке выше.

4)

Рассмотрим систему неравенств: $ \begin{cases} y - 3x^2 + 1 \ge 0 \\ x^2 + 2y \le 6 \end{cases} $ Преобразуем неравенства: $ \begin{cases} y \ge 3x^2 - 1 \\ y \le -\frac{1}{2}x^2 + 3 \end{cases} $

Первое неравенство, $y \ge 3x^2 - 1$, задает область выше или на параболе $y = 3x^2 - 1$. Граница (парабола с ветвями вверх, вершина в (0, -1)) изображается сплошной линией.

Второе неравенство, $y \le -\frac{1}{2}x^2 + 3$, задает область ниже или на параболе $y = -\frac{1}{2}x^2 + 3$. Граница (парабола с ветвями вниз, вершина в (0, 3)) изображается сплошной линией.

Решением является ограниченная область между двумя параболами. Найдем точки их пересечения: $3x^2 - 1 = -\frac{1}{2}x^2 + 3$ $\frac{7}{2}x^2 = 4 \implies x^2 = \frac{8}{7}$ $x = \pm \sqrt{\frac{8}{7}} \approx \pm 1.07$. Соответствующее значение $y = 3(\frac{8}{7}) - 1 = \frac{24}{7} - \frac{7}{7} = \frac{17}{7} \approx 2.43$.

Искомое множество точек — область, заключенная между параболами, показана штриховкой на графике. Обе границы включаются в решение.

Ответ: Графическое представление множества точек показано на рисунке выше.