Вопросы, страница 62, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

1. Что является решением системы нелинейных неравенств с двумя переменными?

2. Сколько решений может иметь система нелинейных неравенств с двумя переменными?

1. Решением системы нелинейных неравенств с двумя переменными $x$ и $y$ называется упорядоченная пара чисел $(x_0, y_0)$, при подстановке которой в каждое неравенство системы получается верное числовое неравенство. Множество всех таких пар $(x_0, y_0)$ образует множество решений системы.

С геометрической точки зрения, решением одного нелинейного неравенства с двумя переменными является некоторая область на координатной плоскости. Границей этой области служит кривая, задаваемая соответствующим уравнением. Например, для неравенства $x^2 + y^2 < 9$ решением является внутренняя часть круга с центром в начале координат и радиусом 3, не включая саму окружность.

Поскольку система состоит из нескольких неравенств, ее решением будет пересечение множеств решений каждого из этих неравенств. Геометрически это область на координатной плоскости, которая является общей частью (пересечением) областей, соответствующих каждому неравенству системы.

Ответ: Решением системы нелинейных неравенств с двумя переменными является множество упорядоченных пар чисел, удовлетворяющих каждому неравенству системы. Геометрически это представляет собой область на координатной плоскости, являющуюся пересечением областей решений для каждого отдельного неравенства.

2. Система нелинейных неравенств с двумя переменными может иметь:

• Бесконечное множество решений. Это наиболее частый случай. Решением является некоторая область (или несколько областей) на координатной плоскости, содержащая бесконечное число точек. Например, система $ \begin{cases} x^2 + y^2 < 25 \\ y > x \end{cases} $ имеет в качестве решения часть круга, лежащую выше прямой $y=x$. Эта область содержит бесконечно много точек.

• Ни одного решения (пустое множество). Это происходит, когда области, являющиеся решениями отдельных неравенств, не имеют общих точек (не пересекаются). Например, система $ \begin{cases} x^2 + y^2 < 1 \\ x^2 + y^2 > 4 \end{cases} $ не имеет решений, так как не существует точки, которая одновременно находилась бы внутри круга радиусом 1 и вне круга радиусом 2.

• Конечное число решений. Это редкий, но возможный случай, который обычно возникает, когда области решений "касаются" друг друга в одной или нескольких точках, и сами эти точки удовлетворяют неравенствам (т.е. неравенства нестрогие). Например, система $ \begin{cases} x^2 + y^2 \le 0 \\ y \ge x^2 \end{cases} $ имеет только одно решение — точку $(0, 0)$. Первое неравенство $x^2 + y^2 \le 0$ выполняется только при $x=0$ и $y=0$. Эти значения удовлетворяют и второму неравенству $0 \ge 0^2$. Другой пример, система $ \begin{cases} (x-1)^2 + y^2 \le 0 \\ (x+1)^2 + y^2 \le 0 \end{cases} $ решений не имеет, а система $ \begin{cases} (x^2 - 1)^2 + y^2 \le 0 \\ y \ge 0 \end{cases} $ имеет два решения: $(1, 0)$ и $(-1, 0)$.

Ответ: Система нелинейных неравенств с двумя переменными может не иметь решений (решение — пустое множество), иметь конечное число решений (например, одно, два и т.д.) или иметь бесконечное множество решений.