Номер 5.16, страница 60, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

5.16. Постройте график уравнения:

1) $3x - 4y + 5 = 0;$

2) $-2x - y + 3 = 0;$

3) $3xy - 2 = 0;$

4) $xy + 2 = 0;$

5) $xy - y - 2 = 0;$

6) $xy + 2y - 3 = 0;$

7) $xy - 3y + 1 = 0;$

8) $xy - 5y + 1 = 0.$

1) Данное уравнение $3x - 4y + 5 = 0$ является линейным уравнением вида $Ax + By + C = 0$. Его графиком является прямая линия. Для построения графика выразим переменную $y$ через $x$: $4y = 3x + 5$ $y = \frac{3}{4}x + \frac{5}{4}$ Для построения прямой достаточно найти координаты двух точек.
1. При $x = 1$, $y = \frac{3}{4}(1) + \frac{5}{4} = \frac{8}{4} = 2$. Получаем точку А(1, 2).
2. При $x = -3$, $y = \frac{3}{4}(-3) + \frac{5}{4} = -\frac{9}{4} + \frac{5}{4} = -\frac{4}{4} = -1$. Получаем точку B(-3, -1).
Построим прямую, проходящую через точки А и В.

Ответ: Графиком уравнения является прямая, проходящая через точки (1, 2) и (-3, -1).

2) Уравнение $-2x - y + 3 = 0$ также является линейным. Его график — прямая. Выразим $y$ через $x$: $y = -2x + 3$ Найдем координаты двух точек для построения:
1. При $x = 0$, $y = -2(0) + 3 = 3$. Точка А(0, 3).
2. При $x = 2$, $y = -2(2) + 3 = -1$. Точка B(2, -1).
Построим прямую, проходящую через точки А и В.

Ответ: Графиком уравнения является прямая, проходящая через точки (0, 3) и (2, -1).

3) Преобразуем уравнение $3xy - 2 = 0$: $3xy = 2$ $y = \frac{2}{3x}$ Это уравнение обратной пропорциональности, графиком которой является гипербола. Ветви гиперболы расположены в I и III координатных четвертях, поскольку коэффициент $k = 2/3 > 0$. Асимптотами являются оси координат $x=0$ и $y=0$.
Составим таблицу значений:
При $x=1, y=2/3$; при $x=2, y=1/3$; при $x=1/3, y=2$.
При $x=-1, y=-2/3$; при $x=-2, y=-1/3$; при $x=-1/3, y=-2$.

Ответ: Графиком является гипербола с ветвями в I и III четвертях.

4) Преобразуем уравнение $xy + 2 = 0$: $xy = -2$ $y = -\frac{2}{x}$ Это уравнение гиперболы. Поскольку коэффициент $k = -2 < 0$, ветви гиперболы расположены во II и IV координатных четвертях. Асимптоты — оси координат.
Составим таблицу значений:
При $x=1, y=-2$; при $x=2, y=-1$; при $x=4, y=-0.5$.
При $x=-1, y=2$; при $x=-2, y=1$; при $x=-4, y=0.5$.

Ответ: Графиком является гипербола с ветвями во II и IV четвертях.

5) Преобразуем уравнение $xy - y - 2 = 0$: $y(x - 1) = 2$ При $x \neq 1$ получаем $y = \frac{2}{x - 1}$. Графиком этого уравнения является гипербола, полученная сдвигом графика функции $y = \frac{2}{x}$ на 1 единицу вправо вдоль оси Ox.
Вертикальная асимптота: $x = 1$.
Горизонтальная асимптота: $y = 0$.
Контрольные точки: (2, 2), (3, 1), (0, -2), (-1, -1).

Ответ: Графиком является гипербола с вертикальной асимптотой $x=1$.

6) Преобразуем уравнение $xy + 2y - 3 = 0$: $y(x + 2) = 3$ При $x \neq -2$ получаем $y = \frac{3}{x + 2}$. Это гипербола, полученная сдвигом графика функции $y = \frac{3}{x}$ на 2 единицы влево вдоль оси Ox.
Вертикальная асимптота: $x = -2$.
Горизонтальная асимптота: $y = 0$.
Контрольные точки: (-1, 3), (1, 1), (-3, -3), (-5, -1).

Ответ: Графиком является гипербола с вертикальной асимптотой $x=-2$.

7) Преобразуем уравнение $xy - 3y + 1 = 0$: $y(x - 3) = -1$ При $x \neq 3$ получаем $y = \frac{-1}{x - 3}$. Это гипербола, полученная сдвигом графика функции $y = -\frac{1}{x}$ на 3 единицы вправо вдоль оси Ox.
Вертикальная асимптота: $x = 3$.
Горизонтальная асимптота: $y = 0$.
Контрольные точки: (4, -1), (2, 1), (5, -0.5), (1, 0.5).

Ответ: Графиком является гипербола с вертикальной асимптотой $x=3$.

8) Преобразуем уравнение $xy - 5y + 1 = 0$: $y(x - 5) = -1$ При $x \neq 5$ получаем $y = \frac{-1}{x - 5}$. Это гипербола, полученная сдвигом графика функции $y = -\frac{1}{x}$ на 5 единиц вправо вдоль оси Ox.
Вертикальная асимптота: $x = 5$.
Горизонтальная асимптота: $y = 0$.
Контрольные точки: (6, -1), (4, 1), (7, -0.5), (3, 0.5).

Ответ: Графиком является гипербола с вертикальной асимптотой $x=5$.