Номер 5.10, страница 60, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

5.10. Запишите неравенство, множество решений которого изображается точками координатной плоскости, лежащими выше параболы, проходящей через точки:

1) $A(2; -1)$, $C(-1; 5)$ и $B(1; -3)$;

2) $A(-1; 10)$, $C(2; 7)$ и $B(1; 4)$.

1)

Задача состоит в том, чтобы найти уравнение параболы, проходящей через заданные точки, а затем записать неравенство для области выше этой параболы.

Общий вид уравнения параболы: $y = ax^2 + bx + c$. Чтобы найти коэффициенты $a$, $b$ и $c$, подставим координаты данных точек A(2; –1), C(–1; 5) и B(1; –3) в это уравнение. Получим систему из трех линейных уравнений:

$ \begin{cases} a(2)^2 + b(2) + c = -1 \\ a(-1)^2 + b(-1) + c = 5 \\ a(1)^2 + b(1) + c = -3 \end{cases} $ $\implies$ $ \begin{cases} 4a + 2b + c = -1 & \text{(1)} \\ a - b + c = 5 & \text{(2)} \\ a + b + c = -3 & \text{(3)} \end{cases} $

Решим эту систему. Сложим уравнения (2) и (3):

$(a - b + c) + (a + b + c) = 5 + (-3)$

$2a + 2c = 2$

$a + c = 1$, откуда $c = 1 - a$.

Теперь вычтем уравнение (2) из уравнения (3):

$(a + b + c) - (a - b + c) = -3 - 5$

$2b = -8$, откуда $b = -4$.

Подставим найденные выражения для $b$ и $c$ в уравнение (1):

$4a + 2(-4) + (1 - a) = -1$

$4a - 8 + 1 - a = -1$

$3a - 7 = -1$

$3a = 6$, откуда $a = 2$.

Теперь найдем $c$:

$c = 1 - a = 1 - 2 = -1$.

Таким образом, уравнение параболы имеет вид: $y = 2x^2 - 4x - 1$.

Множество решений неравенства изображается точками, лежащими выше параболы. Это означает, что для любого значения $x$ координата $y$ точки должна быть больше, чем значение функции $2x^2 - 4x - 1$. Следовательно, искомое неравенство:

$y > 2x^2 - 4x - 1$.

Ответ: $y > 2x^2 - 4x - 1$.

2)

Аналогично, подставим координаты точек A(–1; 10), C(2; 7) и B(1; 4) в уравнение параболы $y = ax^2 + bx + c$.

$ \begin{cases} a(-1)^2 + b(-1) + c = 10 \\ a(2)^2 + b(2) + c = 7 \\ a(1)^2 + b(1) + c = 4 \end{cases} $ $\implies$ $ \begin{cases} a - b + c = 10 & \text{(1)} \\ 4a + 2b + c = 7 & \text{(2)} \\ a + b + c = 4 & \text{(3)} \end{cases} $

Решим эту систему. Сложим уравнения (1) и (3):

$(a - b + c) + (a + b + c) = 10 + 4$

$2a + 2c = 14$

$a + c = 7$, откуда $c = 7 - a$.

Вычтем уравнение (1) из уравнения (3):

$(a + b + c) - (a - b + c) = 4 - 10$

$2b = -6$, откуда $b = -3$.

Подставим найденные выражения для $b$ и $c$ в уравнение (2):

$4a + 2(-3) + (7 - a) = 7$

$4a - 6 + 7 - a = 7$

$3a + 1 = 7$

$3a = 6$, откуда $a = 2$.

Теперь найдем $c$:

$c = 7 - a = 7 - 2 = 5$.

Таким образом, уравнение параболы имеет вид: $y = 2x^2 - 3x + 5$.

Множество точек, лежащих выше этой параболы, задается неравенством:

$y > 2x^2 - 3x + 5$.

Ответ: $y > 2x^2 - 3x + 5$.