Номер 5.8, страница 59, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

5.8. Какое множество точек на координатной плоскости задано неравенством:

1) $x^2 + y^2 + 4x - 2y \ge 4$;

2) $x^2 + y^2 - 6x - 4y \ge 0$;

3) $x^2 + y^2 - x + 4y \ge 1$;

4) $x^2 + y^2 - 2x - y \le 0?$

Для определения множества точек, заданного каждым неравенством, мы приведем его к каноническому виду неравенства для окружности: $(x-a)^2 + (y-b)^2 \ge R^2$ (точки на и вне окружности) или $(x-a)^2 + (y-b)^2 \le R^2$ (точки на и внутри окружности, то есть круг). Это достигается методом выделения полного квадрата.

1) $x^2 + y^2 + 4x - 2y \ge 4$

Сгруппируем члены с $x$ и $y$ и перенесем свободный член вправо:

$(x^2 + 4x) + (y^2 - 2y) \ge 4$

Дополним выражения в скобках до полных квадратов. Для этого прибавим и вычтем квадраты половины коэффициентов при $x$ и $y$:

$(x^2 + 4x + 4) - 4 + (y^2 - 2y + 1) - 1 \ge 4$

Свернем полные квадраты:

$(x+2)^2 + (y-1)^2 - 5 \ge 4$

Перенесем константу в правую часть:

$(x+2)^2 + (y-1)^2 \ge 9$

Это можно записать в виде $(x - (-2))^2 + (y - 1)^2 \ge 3^2$.

Это неравенство описывает множество точек, расстояние от которых до точки $C(-2, 1)$ не меньше, чем $3$. Геометрически это внешняя часть круга, включая его границу — окружность.

Ответ: Множество точек, расположенных на окружности с центром в точке $(-2, 1)$ и радиусом $3$, а также все точки вне этой окружности.

2) $x^2 + y^2 - 6x - 4y \ge 0$

Сгруппируем члены с $x$ и $y$:

$(x^2 - 6x) + (y^2 - 4y) \ge 0$

Выделим полные квадраты:

$(x^2 - 6x + 9) - 9 + (y^2 - 4y + 4) - 4 \ge 0$

$(x-3)^2 + (y-2)^2 - 13 \ge 0$

Перенесем константу вправо:

$(x-3)^2 + (y-2)^2 \ge 13$

Это неравенство описывает множество точек, расстояние от которых до точки $C(3, 2)$ не меньше, чем $\sqrt{13}$. Это внешняя часть круга с центром в $C(3, 2)$ и радиусом $R = \sqrt{13}$, включая его границу.

Ответ: Множество точек, расположенных на окружности с центром в точке $(3, 2)$ и радиусом $\sqrt{13}$, а также все точки вне этой окружности.

3) $x^2 + y^2 - x + 4y \ge 1$

Сгруппируем члены:

$(x^2 - x) + (y^2 + 4y) \ge 1$

Выделим полные квадраты:

$(x^2 - x + (\frac{1}{2})^2) - (\frac{1}{2})^2 + (y^2 + 4y + 4) - 4 \ge 1$

$(x - \frac{1}{2})^2 - \frac{1}{4} + (y+2)^2 - 4 \ge 1$

$(x - \frac{1}{2})^2 + (y+2)^2 \ge 1 + 4 + \frac{1}{4}$

$(x - \frac{1}{2})^2 + (y - (-2))^2 \ge \frac{21}{4}$

Это неравенство описывает множество точек, расстояние от которых до точки $C(\frac{1}{2}, -2)$ не меньше, чем $\sqrt{\frac{21}{4}} = \frac{\sqrt{21}}{2}$. Это внешняя часть круга, включая его границу.

Ответ: Множество точек, расположенных на окружности с центром в точке $(\frac{1}{2}, -2)$ и радиусом $\frac{\sqrt{21}}{2}$, а также все точки вне этой окружности.

4) $x^2 + y^2 - 2x - y \le 0$

Сгруппируем члены:

$(x^2 - 2x) + (y^2 - y) \le 0$

Выделим полные квадраты:

$(x^2 - 2x + 1) - 1 + (y^2 - y + (\frac{1}{2})^2) - (\frac{1}{2})^2 \le 0$

$(x-1)^2 + (y - \frac{1}{2})^2 - 1 - \frac{1}{4} \le 0$

$(x-1)^2 + (y - \frac{1}{2})^2 \le \frac{5}{4}$

Это неравенство описывает множество точек, расстояние от которых до точки $C(1, \frac{1}{2})$ не больше, чем $\sqrt{\frac{5}{4}} = \frac{\sqrt{5}}{2}$. Геометрически это круг (включая границу) с центром в $C(1, \frac{1}{2})$ и радиусом $R = \frac{\sqrt{5}}{2}$.

Ответ: Множество точек, образующих круг с центром в точке $(1, \frac{1}{2})$ и радиусом $\frac{\sqrt{5}}{2}$.