Номер 5.13, страница 60, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

*5.13. Постройте график функции $y = \max \{x^2 - 3; 3x + 7\}$.

Для построения графика функции $y = \max\{x^2 - 3; 3x + 7\}$ необходимо понять, как она устроена. Для каждого значения аргумента $x$ значение функции $y$ равно наибольшему из значений двух функций: $y_1 = x^2 - 3$ и $y_2 = 3x + 7$.

Таким образом, алгоритм построения следующий:

1. В одной системе координат строим графики двух функций: параболу $y_1 = x^2 - 3$ и прямую $y_2 = 3x + 7$.

2. Находим точки их пересечения. Для этого приравниваем выражения для $y_1$ и $y_2$:

$x^2 - 3 = 3x + 7$

$x^2 - 3x - 10 = 0$

Решаем это квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета или формулу для корней. По теореме Виета, сумма корней равна 3, а их произведение равно -10. Корни легко подбираются: $x_1 = 5$ и $x_2 = -2$.

Найдем ординаты (значения $y$) в этих точках, подставив $x$ в уравнение любой из функций:

При $x_1 = 5$: $y_1 = 3(5) + 7 = 15 + 7 = 22$.

При $x_2 = -2$: $y_2 = 3(-2) + 7 = -6 + 7 = 1$.

Таким образом, графики пересекаются в двух точках: $(-2, 1)$ и $(5, 22)$.

3. Эти точки делят всю координатную плоскость на три области. Нам нужно определить, на каких промежутках график одной функции лежит выше другой.

• При $x < -2$ и $x > 5$ (вне отрезка между корнями) парабола $x^2 - 3x - 10$ принимает положительные значения. Это значит, что $x^2 - 3x - 10 > 0$, или $x^2 - 3 > 3x + 7$. На этих интервалах график функции $y = \max\{x^2 - 3; 3x + 7\}$ совпадает с графиком параболы $y = x^2 - 3$.

• При $-2 < x < 5$ (между корнями) парабола $x^2 - 3x - 10$ принимает отрицательные значения, то есть $x^2 - 3x - 10 < 0$, или $x^2 - 3 < 3x + 7$. На этом интервале график искомой функции совпадает с графиком прямой $y = 3x + 7$.

4. Итоговый график представляет собой "верхнюю огибающую" двух графиков. Он состоит из левой ветви параболы до точки $(-2, 1)$, затем отрезка прямой от $(-2, 1)$ до $(5, 22)$, и далее правой ветви параболы от точки $(5, 22)$.

Функцию можно записать кусочно:

$y = \begin{cases} x^2 - 3, & \text{если } x \le -2 \text{ или } x \ge 5 \\ 3x + 7, & \text{если } -2 < x < 5 \end{cases}$

Ответ:

График функции $y = \max\{x^2 - 3; 3x + 7\}$ показан на рисунке ниже. Синим пунктиром показана парабола $y=x^2-3$, зеленым пунктиром — прямая $y=3x+7$. Итоговый график выделен жирной красной линией.