Номер 5.19, страница 61, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

5.19. Назовите множество точек координатной плоскости, которое задано с помощью неравенства:

1) $(x-1)^2 + y^2 \ge 12;$

2) $x^2 + (y-3)^2 < 3;$

3) $(x+1)^2 + (y-3)^2 \ge 9;$

4) $x^2 + (y-21)^2 \le 0;$

5) $(x+2)^2 + y-2 \ge 0;$

6) $(x-2)^2 + y+3 \le 0.$

1) Данное неравенство $(x-1)^2 + y^2 \geq 12$ задает множество точек на координатной плоскости.

Уравнение $(x-a)^2 + (y-b)^2 = R^2$ является уравнением окружности с центром в точке $(a, b)$ и радиусом $R$.

В нашем случае, неравенство можно записать как $(x-1)^2 + (y-0)^2 \geq (\sqrt{12})^2$. Это соответствует окружности с центром в точке $O(1, 0)$ и радиусом $R = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$.

Знак $\geq$ означает, что искомое множество точек включает в себя все точки, лежащие на самой окружности, а также все точки, лежащие вне этой окружности.

Ответ: Множество точек, расположенных на окружности с центром в точке $(1, 0)$ и радиусом $2\sqrt{3}$ и вне ее.

2) Рассмотрим неравенство $x^2 + (y - 3)^2 < 3$.

Это неравенство можно записать в виде $(x-0)^2 + (y-3)^2 < (\sqrt{3})^2$. Оно определяет внутреннюю часть круга, не включая границу.

Центр соответствующей окружности находится в точке $O(0, 3)$, а ее радиус равен $R = \sqrt{3}$.

Знак $<$ означает, что искомое множество точек — это все точки, лежащие строго внутри окружности.

Ответ: Множество точек, расположенных внутри круга с центром в точке $(0, 3)$ и радиусом $\sqrt{3}$ (открытый круг).

3) Рассмотрим неравенство $(x + 1)^2 + (y - 3)^2 \geq 9$.

Перепишем неравенство в стандартном виде: $(x-(-1))^2 + (y-3)^2 \geq 3^2$.

Это неравенство задает множество точек, связанных с окружностью с центром в точке $O(-1, 3)$ и радиусом $R = 3$.

Знак $\geq$ указывает на то, что множество включает точки на самой окружности и все точки вне ее.

Ответ: Множество точек, расположенных на окружности с центром в точке $(-1, 3)$ и радиусом $3$ и вне ее.

4) Рассмотрим неравенство $x^2 + (y - 21)^2 \leq 0$.

Выражение в левой части, $x^2 + (y-21)^2$, является суммой двух квадратов. Квадрат любого действительного числа неотрицателен, поэтому $x^2 \geq 0$ и $(y-21)^2 \geq 0$.

Следовательно, их сумма также неотрицательна: $x^2 + (y-21)^2 \geq 0$.

Таким образом, неравенство $x^2 + (y-21)^2 \leq 0$ может выполняться только в одном случае: когда $x^2 + (y-21)^2 = 0$.

Это равенство истинно, только если оба слагаемых равны нулю одновременно: $x^2 = 0$ и $(y-21)^2 = 0$.

Отсюда получаем $x=0$ и $y=21$.

Ответ: Единственная точка с координатами $(0, 21)$.

5) Рассмотрим неравенство $(x + 2)^2 + y - 2 \geq 0$.

Это неравенство не задает круг. Преобразуем его, выразив $y$: $y \geq -(x+2)^2 + 2$.

Уравнение $y = -(x+2)^2 + 2$ является уравнением параболы. Это парабола с ветвями, направленными вниз (из-за знака "минус" перед скобкой).

Вершина параболы вида $y = a(x-h)^2 + k$ находится в точке $(h, k)$. В нашем случае вершина находится в точке $(-2, 2)$.

Неравенство $y \geq -(x+2)^2 + 2$ задает множество точек, которые лежат на параболе и над ней.

Ответ: Множество точек, расположенных на параболе $y = -(x+2)^2 + 2$ и над ней.

6) Рассмотрим неравенство $(x - 2)^2 + y + 3 \leq 0$.

Преобразуем неравенство, выразив $y$: $y \leq -(x-2)^2 - 3$.

Уравнение $y = -(x-2)^2 - 3$ является уравнением параболы с ветвями, направленными вниз.

Вершина параболы находится в точке $(2, -3)$.

Неравенство $y \leq -(x-2)^2 - 3$ задает множество точек, которые лежат на параболе и под ней.

Ответ: Множество точек, расположенных на параболе $y = -(x-2)^2 - 3$ и под ней.