Номер 5.12, страница 60, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

5.12. Решите неравенство:

1) $x^2 - 5x - 5 > 2x^2 + 1$;

2) $3x^2 - 5x > 2x^2 - 6$.

1) $x^2 - 5x - 5 > 2x^2 + 1$
Для решения неравенства перенесем все его члены в одну сторону, чтобы получить стандартный вид квадратного неравенства:
$x^2 - 5x - 5 - 2x^2 - 1 > 0$
Приведем подобные слагаемые:
$-x^2 - 5x - 6 > 0$
Умножим обе части неравенства на -1, при этом знак неравенства изменится на противоположный:
$x^2 + 5x + 6 < 0$
Теперь найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 + 5x + 6 = 0$. Это можно сделать с помощью теоремы Виета или через дискриминант.
По теореме Виета: сумма корней $x_1 + x_2 = -5$, а их произведение $x_1 \cdot x_2 = 6$. Подбором находим корни $x_1 = -3$ и $x_2 = -2$.
Таким образом, мы решаем неравенство $(x + 3)(x + 2) < 0$.
Графиком функции $y = x^2 + 5x + 6$ является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен ($a=1$). Парабола пересекает ось абсцисс в точках $x=-3$ и $x=-2$.
Значения функции отрицательны (то есть $y < 0$) на интервале между корнями.

Следовательно, решение неравенства есть интервал $x \in (-3, -2)$.
Ответ: $x \in (-3, -2)$.

2) $3x^2 - 5x > 2x^2 - 6$
Перенесем все члены в левую часть неравенства:
$3x^2 - 5x - 2x^2 + 6 > 0$
Приведем подобные слагаемые:
$x^2 - 5x + 6 > 0$
Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - 5x + 6 = 0$.
По теореме Виета: сумма корней $x_1 + x_2 = 5$, а их произведение $x_1 \cdot x_2 = 6$. Корнями являются $x_1 = 2$ и $x_2 = 3$.
Таким образом, мы решаем неравенство $(x - 2)(x - 3) > 0$.
Графиком функции $y = x^2 - 5x + 6$ является парабола, ветви которой направлены вверх ($a=1 > 0$). Парабола пересекает ось абсцисс в точках $x=2$ и $x=3$.
Значения функции положительны (то есть $y > 0$) на интервалах вне корней.

Следовательно, решением является объединение интервалов $x \in (-\infty, 2) \cup (3, \infty)$.
Ответ: $x \in (-\infty, 2) \cup (3, \infty)$.