Номер 5.11, страница 60, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

5.11. На координатной плоскости изобразите штриховкой множество точек, координаты которых являются решениями неравенства:

1) $|y| \leq x;$

2) $|y| \geq 2x;$

3) $|y| + |x| \leq 1;$

4) $|y| + |x| \leq 3;$

5) $|y| + 2|x| \leq 2;$

6) $2|y| + |x| \geq 4.$

1) $|y| \le x$

Данное неравенство имеет смысл только при $x \ge 0$, так как модуль числа $|y|$ всегда неотрицателен. Таким образом, все решения будут находиться в правой полуплоскости (включая ось $Oy$).

Неравенство $|y| \le x$ равносильно двойному неравенству $-x \le y \le x$.

Границами искомой области являются прямые $y = x$ и $y = -x$. Поскольку неравенство нестрогое ($\le$), точки на границах включаются в решение.

Множество точек, удовлетворяющих этому условию, представляет собой область, заключенную между лучами $y = x$ и $y = -x$ при $x \ge 0$. Это угол с вершиной в начале координат, биссектрисой которого является положительная полуось $Ox$.

Ответ:

2) $|y| \ge 2x$

Рассмотрим два случая.

Случай 1: $x < 0$. В этом случае правая часть неравенства ($2x$) отрицательна. Левая часть ($|y|$) всегда неотрицательна. Любое неотрицательное число всегда больше любого отрицательного, поэтому неравенство $|y| \ge 2x$ выполняется для всех $y$ при $x < 0$. Таким образом, вся левая полуплоскость является частью решения.

Случай 2: $x \ge 0$. В этом случае неравенство $|y| \ge 2x$ равносильно совокупности двух неравенств: $y \ge 2x$ или $y \le -2x$. Границами этой области являются лучи $y = 2x$ и $y = -2x$ при $x \ge 0$. Решением является область "вне" угла, образованного этими лучами.

Итоговое множество точек — это объединение всей левой полуплоскости ($x < 0$) и области в правой полуплоскости, лежащей выше луча $y=2x$ или ниже луча $y=-2x$, включая сами границы.

Ответ:

3) $|y| + |x| \le 1$

Для решения этого неравенства раскроем модули в каждой из четырёх координатных четвертей.

• В I четверти ($x \ge 0, y \ge 0$): $y + x \le 1 \implies y \le 1 - x$.
• Во II четверти ($x < 0, y \ge 0$): $y - x \le 1 \implies y \le 1 + x$.
• В III четверти ($x < 0, y < 0$): $-y - x \le 1 \implies y \ge -1 - x$.
• В IV четверти ($x \ge 0, y < 0$): $-y + x \le 1 \implies y \ge x - 1$.

Граница области, задаваемая уравнением $|y| + |x| = 1$, является квадратом с вершинами в точках $(1, 0), (0, 1), (-1, 0), (0, -1)$.

Для определения искомой области возьмём пробную точку, например, начало координат $(0, 0)$. Подставляя в неравенство, получаем $|0| + |0| \le 1$, что является верным ($0 \le 1$). Следовательно, решением является внутренняя часть этого квадрата, включая его границы.

Ответ:

4) $|y| + |x| \le 3$

Данное неравенство аналогично предыдущему. Границей области является квадрат, заданный уравнением $|y| + |x| = 3$. Вершины этого квадрата находятся в точках $(3, 0), (0, 3), (-3, 0), (0, -3)$.

Проверяя точку $(0, 0)$, получаем $|0| + |0| \le 3$, что верно. Значит, решением является внутренняя область квадрата, ограниченного указанными вершинами, включая его границы.

Ответ:

5) $|y| + 2|x| \le 2$

Снова раскроем модули по четвертям:

• I четверть ($x \ge 0, y \ge 0$): $y + 2x \le 2 \implies y \le 2 - 2x$.
• II четверть ($x < 0, y \ge 0$): $y - 2x \le 2 \implies y \le 2 + 2x$.
• III четверть ($x < 0, y < 0$): $-y - 2x \le 2 \implies y \ge -2 - 2x$.
• IV четверть ($x \ge 0, y < 0$): $-y + 2x \le 2 \implies y \ge 2x - 2$.

Граница области, заданная уравнением $|y| + 2|x| = 2$, представляет собой ромб с вершинами в точках $(1, 0), (0, 2), (-1, 0), (0, -2)$.

Проверка начала координат $(0, 0)$ даёт верное неравенство $|0| + 2|0| \le 2$. Следовательно, решением является внутренняя область этого ромба, включая его границы.

Ответ:

6) $2|y| + |x| \ge 4$

Рассмотрим неравенство в каждой четверти:

• I четверть ($x \ge 0, y \ge 0$): $2y + x \ge 4 \implies y \ge 2 - 0.5x$.
• II четверть ($x < 0, y \ge 0$): $2y - x \ge 4 \implies y \ge 2 + 0.5x$.
• III четверть ($x < 0, y < 0$): $-2y - x \ge 4 \implies y \le -2 - 0.5x$.
• IV четверть ($x \ge 0, y < 0$): $-2y + x \ge 4 \implies y \le 0.5x - 2$.

Граница области, заданная уравнением $2|y| + |x| = 4$, является ромбом с вершинами в точках $(4, 0), (0, 2), (-4, 0), (0, -2)$.

Проверим точку $(0, 0)$: $2|0| + |0| \ge 4$, что является неверным ($0 \ge 4$). Это означает, что решением является область, лежащая вне ромба, включая его границы.

Ответ: