Номер 5.4, страница 58, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

5.4. Изобразите на координатной плоскости множество точек, заданное неравенством:

1) $x^2 + y^2 \le 4;$

2) $x^2 + y^2 \ge 16;$

3) $x^2 + y^2 < 12;$

4) $x^2 > 8 - y^2;$

5) $(x - 1)^2 + (y - 2)^2 \le 9;$

6) $(x + 1)^2 + (y + 2)^2 \le 10;$

7) $(x + 2)^2 + (y - 2)^2 \ge 4;$

8) $(x + 1)^2 + (y - 3)^2 > 10;$

9) $(2 - x)^2 + (y - 2)^2 > 16.$

1) $x^2 + y^2 \le 4$

Данное неравенство описывает множество точек, расстояние от которых до начала координат $(0, 0)$ не превышает $\sqrt{4} = 2$. Это соответствует замкнутому кругу с центром в точке $(0, 0)$ и радиусом $R=2$. Граница круга (окружность) включается в множество решений, поэтому она изображается сплошной линией.

Ответ: Замкнутый круг с центром в начале координат и радиусом 2.

2) $x^2 + y^2 \ge 16$

Это неравенство описывает множество точек, расстояние от которых до начала координат $(0, 0)$ не меньше $\sqrt{16} = 4$. Это соответствует области вне круга с центром в $(0, 0)$ и радиусом $R=4$. Граница (окружность) включается в решение, поэтому изображается сплошной линией.

Ответ: Множество точек плоскости вне круга с центром в $(0, 0)$ и радиусом 4, включая границу.

3) $x^2 + y^2 < 12$

Неравенство описывает множество точек, расстояние от которых до начала координат $(0, 0)$ строго меньше $\sqrt{12} = 2\sqrt{3} \approx 3.46$. Это открытый круг (без границы) с центром в $(0, 0)$ и радиусом $R=\sqrt{12}$. Граница изображается пунктирной линией, так как точки на ней не входят в решение.

Ответ: Открытый круг с центром в начале координат и радиусом $\sqrt{12}$.

4) $x^2 > 8 - y^2$

Преобразуем неравенство к стандартному виду: $x^2 + y^2 > 8$. Оно описывает множество точек, расстояние от которых до начала координат $(0, 0)$ строго больше $\sqrt{8} = 2\sqrt{2} \approx 2.83$. Это область вне круга с центром в $(0, 0)$ и радиусом $R=\sqrt{8}$. Граница (окружность) не включается в решение, поэтому изображается пунктирной линией.

Ответ: Множество точек плоскости вне круга с центром в $(0, 0)$ и радиусом $\sqrt{8}$, не включая границу.

5) $(x - 1)^2 + (y - 2)^2 \le 9$

Это неравенство задает замкнутый круг с центром в точке $(1, 2)$ и радиусом $R = \sqrt{9} = 3$. Знак $\le$ означает, что в решение входят как точки внутри круга, так и на его границе. Граница изображается сплошной линией.

Ответ: Замкнутый круг с центром в точке $(1, 2)$ и радиусом 3.

6) $(x + 1)^2 + (y + 2)^2 \le 10$

Неравенство можно записать как $(x - (-1))^2 + (y - (-2))^2 \le (\sqrt{10})^2$. Оно задает замкнутый круг с центром в точке $(-1, -2)$ и радиусом $R = \sqrt{10} \approx 3.16$. Знак $\le$ означает, что решение включает точки внутри круга и на его границе (сплошная линия).

Ответ: Замкнутый круг с центром в точке $(-1, -2)$ и радиусом $\sqrt{10}$.

7) $(x + 2)^2 + (y - 2)^2 \ge 4$

Неравенство можно записать как $(x - (-2))^2 + (y - 2)^2 \ge 2^2$. Оно описывает множество точек вне круга с центром в $(-2, 2)$ и радиусом $R = 2$. Знак $\ge$ означает, что решение включает границу (сплошная линия) и все точки вне круга.

Ответ: Множество точек плоскости вне круга с центром в $(-2, 2)$ и радиусом 2, включая границу.

8) $(x + 1)^2 + (y - 3)^2 > 10$

Неравенство $(x - (-1))^2 + (y - 3)^2 > (\sqrt{10})^2$ описывает множество точек вне круга с центром в $(-1, 3)$ и радиусом $R = \sqrt{10} \approx 3.16$. Знак $>$ означает, что граница не включается в решение, поэтому она изображается пунктирной линией.

Ответ: Множество точек плоскости вне круга с центром в $(-1, 3)$ и радиусом $\sqrt{10}$, не включая границу.

9) $(2 - x)^2 + (y - 2)^2 > 16$

Учитывая, что $(2 - x)^2 = (-(x - 2))^2 = (x - 2)^2$, неравенство эквивалентно $(x - 2)^2 + (y - 2)^2 > 16$. Оно описывает множество точек вне круга с центром в $(2, 2)$ и радиусом $R = \sqrt{16} = 4$. Знак $>$ означает, что граница (окружность) не включается в решение и изображается пунктирной линией.

Ответ: Множество точек плоскости вне круга с центром в $(2, 2)$ и радиусом 4, не включая границу.