Номер 4.28, страница 55, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

4.28. В одной координатной плоскости постройте графики функций и найдите число точек пересечения их графиков:

1) $y = x^3$ и $y = x^2 - 2x;$

2) $y = 2x - 3$ и $y = -x^2 - 3x;$

3) $y = |x + 1|$ и $y = x^2 + 4x + 3;$

4) $y = |x - 1|$ и $y = |x^2 - 4x + 3|.$

1)Рассмотрим функции $y = x^3$ и $y = x^2 - 2x$.
Первая функция, $y = x^3$, — это кубическая парабола, проходящая через начало координат.
Вторая функция, $y = x^2 - 2x$, — это парабола, ветви которой направлены вверх. Найдем ее вершину: $x_в = -b/(2a) = -(-2)/(2 \cdot 1) = 1$. $y_в = 1^2 - 2(1) = -1$. Вершина находится в точке $(1, -1)$. Корни уравнения $x^2 - 2x = 0$ — это $x(x-2)=0$, то есть $x=0$ и $x=2$.
Чтобы найти точки пересечения, приравняем выражения для $y$:
$x^3 = x^2 - 2x$
$x^3 - x^2 + 2x = 0$
$x(x^2 - x + 2) = 0$
Одно решение — $x_1 = 0$.
Для квадратного уравнения $x^2 - x + 2 = 0$ найдем дискриминант: $D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 1 - 8 = -7$. Так как $D < 0$, действительных корней нет.
Следовательно, существует только одна точка пересечения. Найдем ее ординату: при $x=0$, $y=0^3=0$. Точка пересечения — $(0, 0)$.

Ответ: 1 точка пересечения.

2)Рассмотрим функции $y = 2x - 3$ и $y = -x^2 - 3x$.
Первая функция, $y = 2x - 3$, — это прямая линия.
Вторая функция, $y = -x^2 - 3x$, — это парабола, ветви которой направлены вниз. Найдем ее вершину: $x_в = -b/(2a) = -(-3)/(2 \cdot (-1)) = -1.5$. $y_в = -(-1.5)^2 - 3(-1.5) = -2.25 + 4.5 = 2.25$. Вершина находится в точке $(-1.5, 2.25)$.
Чтобы найти точки пересечения, приравняем выражения для $y$:
$2x - 3 = -x^2 - 3x$
$x^2 + 5x - 3 = 0$
Найдем дискриминант: $D = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 25 + 12 = 37$. Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.
$x = \frac{-5 \pm \sqrt{37}}{2}$.
Поскольку существует два различных значения $x$, графики функций пересекаются в двух точках.

Ответ: 2 точки пересечения.

3)Рассмотрим функции $y = |x + 1|$ и $y = x^2 + 4x + 3$.
Первая функция, $y = |x + 1|$, — это график модуля, "галочка" с вершиной в точке $(-1, 0)$.
Вторая функция, $y = x^2 + 4x + 3$, — это парабола, ветви которой направлены вверх. Найдем ее вершину: $x_в = -4/(2 \cdot 1) = -2$. $y_в = (-2)^2 + 4(-2) + 3 = 4 - 8 + 3 = -1$. Вершина в точке $(-2, -1)$.
Для нахождения точек пересечения рассмотрим два случая, раскрывая модуль.
Случай 1: $x + 1 \ge 0$, то есть $x \ge -1$.
$x + 1 = x^2 + 4x + 3$
$x^2 + 3x + 2 = 0$
По теореме Виета, корни $x_1 = -1$, $x_2 = -2$. Условию $x \ge -1$ удовлетворяет только $x = -1$. При $x = -1$, $y = |-1 + 1| = 0$. Точка пересечения $(-1, 0)$.
Случай 2: $x + 1 < 0$, то есть $x < -1$.
$-(x + 1) = x^2 + 4x + 3$
$-x - 1 = x^2 + 4x + 3$
$x^2 + 5x + 4 = 0$
По теореме Виета, корни $x_3 = -1$, $x_4 = -4$. Условию $x < -1$ удовлетворяет только $x = -4$. При $x = -4$, $y = |-4 + 1| = 3$. Точка пересечения $(-4, 3)$.
Всего две точки пересечения.

Ответ: 2 точки пересечения.

4)Рассмотрим функции $y = |x - 1|$ и $y = |x^2 - 4x + 3|$.
Первая функция $y = |x - 1|$ — "галочка" с вершиной в точке $(1, 0)$.
Вторая функция $y = |x^2 - 4x + 3|$. Сначала рассмотрим параболу $f(x) = x^2 - 4x + 3$. Ее корни находятся из уравнения $(x-1)(x-3)=0$, то есть $x=1$ и $x=3$. Ветви вверх. Вершина в $x_в=2$, $y_в=2^2-4(2)+3=-1$. График $y=|f(x)|$ получается отражением отрицательной части параболы (между $x=1$ и $x=3$) относительно оси Ox.
Для нахождения точек пересечения решим уравнение $|x - 1| = |(x-1)(x-3)|$.
Одна из точек пересечения очевидна: при $x = 1$ обе части равны нулю. Точка $(1, 0)$ — первая точка пересечения.
Если $x \neq 1$, можно разделить обе части на $|x - 1|$:
$1 = |x - 3|$
Это уравнение распадается на два:
1) $x - 3 = 1 \implies x = 4$. При $x=4$, $y = |4-1|=3$. Точка $(4, 3)$ — вторая точка пересечения.
2) $x - 3 = -1 \implies x = 2$. При $x=2$, $y = |2-1|=1$. Точка $(2, 1)$ — третья точка пересечения.
Всего три точки пересечения.

Ответ: 3 точки пересечения.