Номер 4.23, страница 54, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

4.23. Три бригады, работая одновременно, отремонтируют железнодорожный путь за 8 дней. Второй бригаде надо на эту работу на 8 дней больше, чем первой, и в 2 раза меньше, чем для третьей. За какое время каждая бригада в отдельности выполнит эту работу?

Примем весь объем работы по ремонту железнодорожного пути за 1.
Пусть $t_1$, $t_2$ и $t_3$ – это время в днях, за которое первая, вторая и третья бригады соответственно могут выполнить всю работу, работая по отдельности.
Тогда их производительность (часть работы, выполняемая за один день) будет равна $p_1 = \frac{1}{t_1}$, $p_2 = \frac{1}{t_2}$ и $p_3 = \frac{1}{t_3}$.

Исходя из условий задачи, составим систему уравнений.
1. Три бригады, работая одновременно, ремонтируют путь за 8 дней. Это означает, что их общая производительность (сумма индивидуальных производительностей) равна $\frac{1}{8}$ работы в день.
$p_1 + p_2 + p_3 = \frac{1}{8}$ или $\frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2} + \frac{1}{t_3} = \frac{1}{8}$.
2. Второй бригаде требуется на 8 дней больше, чем первой.
$t_2 = t_1 + 8$.
3. Второй бригаде требуется в 2 раза меньше времени, чем третьей, что равносильно тому, что третьей бригаде требуется в 2 раза больше времени, чем второй.
$t_3 = 2 \cdot t_2$.

Для решения системы уравнений выразим время работы первой и третьей бригад ($t_1$ и $t_3$) через время работы второй бригады ($t_2$).
Из второго уравнения: $t_1 = t_2 - 8$.
Третье уравнение уже выражает $t_3$ через $t_2$: $t_3 = 2t_2$.

Теперь подставим эти выражения в первое уравнение:
$\frac{1}{t_2 - 8} + \frac{1}{t_2} + \frac{1}{2t_2} = \frac{1}{8}$

Решим полученное уравнение относительно $t_2$. Сначала упростим левую часть, сложив два последних слагаемых:
$\frac{1}{t_2} + \frac{1}{2t_2} = \frac{2}{2t_2} + \frac{1}{2t_2} = \frac{3}{2t_2}$
Уравнение принимает вид:
$\frac{1}{t_2 - 8} + \frac{3}{2t_2} = \frac{1}{8}$
Приведем дроби в левой части к общему знаменателю $2t_2(t_2 - 8)$:
$\frac{2t_2}{2t_2(t_2 - 8)} + \frac{3(t_2 - 8)}{2t_2(t_2 - 8)} = \frac{1}{8}$
$\frac{2t_2 + 3t_2 - 24}{2t_2^2 - 16t_2} = \frac{1}{8}$
$\frac{5t_2 - 24}{2t_2^2 - 16t_2} = \frac{1}{8}$

Воспользуемся свойством пропорции (перекрестное умножение):
$8(5t_2 - 24) = 1(2t_2^2 - 16t_2)$
$40t_2 - 192 = 2t_2^2 - 16t_2$
Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$:
$2t_2^2 - 16t_2 - 40t_2 + 192 = 0$
$2t_2^2 - 56t_2 + 192 = 0$
Для удобства разделим все уравнение на 2:
$t_2^2 - 28t_2 + 96 = 0$

Решим квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета или формулу корней. Воспользуемся формулой через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-28)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 96 = 784 - 384 = 400$
$t_2 = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{28 \pm \sqrt{400}}{2 \cdot 1} = \frac{28 \pm 20}{2}$
Получаем два возможных корня для $t_2$:
$t_{2,1} = \frac{28 + 20}{2} = \frac{48}{2} = 24$
$t_{2,2} = \frac{28 - 20}{2} = \frac{8}{2} = 4$

Необходимо проверить оба корня. Мы знаем, что $t_1 = t_2 - 8$. Поскольку время на выполнение работы не может быть отрицательным или нулевым, $t_1$ должно быть больше 0. Это накладывает условие $t_2 - 8 > 0$, то есть $t_2 > 8$.
- Корень $t_2 = 4$ не удовлетворяет этому условию, так как в этом случае $t_1 = 4 - 8 = -4$, что физически невозможно.
- Корень $t_2 = 24$ удовлетворяет условию, так как $t_1 = 24 - 8 = 16$, что является положительным числом.
Таким образом, единственное верное решение для времени второй бригады – 24 дня.

Теперь, зная $t_2$, мы можем найти время для первой и третьей бригад:
Время для первой бригады: $t_1 = t_2 - 8 = 24 - 8 = 16$ дней.
Время для второй бригады: $t_2 = 24$ дня.
Время для третьей бригады: $t_3 = 2 \cdot t_2 = 2 \cdot 24 = 48$ дней.

Ответ: первая бригада выполнит работу за 16 дней, вторая – за 24 дня, а третья – за 48 дней.